Théorie: Fonction logarithme népérien

CorentinP · 02/08/2008 - 14h29

Bonjour

Lors de mon examen de mathématique théorie de juin. Je n'ai vraisemblablement pas assez étudié en profondeur. J'aimerais avoir donc votre avis pour préparer au mieux celui de deuxième session.

Un des question posée était celle ci (j'ai noté les questions que j'ai retenu en sortant de la salle)

Fonction logarithme népérien: Définition, propriétés (les démontrés!), interprétation géométrique et caractéristiques?

J'ai pu répondre facilement à la définition aux propriétés, car j'avais étudier correctement tout ce qui se trouvais dans le cours, néanmoins je n'ai su les démontrés ni faire le reste.

Les démontrer ne me posent plus de problèmes.

- Ma question est qu'est-ce que l'interprétation géométrique de la fonction logarithme népérien?

S'agit il de de donné l'étude de la fonction f(x)= ln x? => Domaines, croissance/extrema, concavité, signes,......
Et qu'en est-il des caractéristiques?

Je ne rien concernant ce sujet dans mon cours, et je n'ia plus envie que ce problème d'incompréhension me coute de bête points.....

Désolé si j'ai été un peu long, j'essaye d'être le plus clair possible.

Merci d'avance pour votre aide!

cypher_2 · 02/08/2008 - 14h50

Salut

Envoyé par CorentinP

- Ma question est qu'est-ce que l'interprétation géométrique de la fonction logarithme népérien?

Peut être que l'on peut dire que la courbe représentative de la fonction logarithme népérien est symétrique à la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à l'axe de symétrie $(D):y=x$

Le terme "géométrie" me fait penser qu'à ça

CorentinP · 02/08/2008 - 15h46

Je pense qu'il faut se limiter à la fonction logarithmique et ne pas dévié sur l'exponentiel.

Dire que la fonction logarithme et exponentiel sont réciproque pourrait par contre être une caractéristique?

cypher_2 · 02/08/2008 - 16h04

Dire que la fonction logarithme et exponentiel sont réciproque pourrait par contre être une caractéristique?

Alors je sais pas si on peut classer cette donnée dans "Définition" ou dans "Caractéristiques" (c'est assez flou ces deux catégories).

Car pour obtenir la fonction ln(x) il faut partir de e(x), donc je peux pas te dire si on classe ça dans une des deux catégories. Mais je pense que la réciprocité fait partie de la définition, et que dans les caractéristiques tu peux parler de tout ce qui est limites ect.

Je pense qu'il faut se limiter à la fonction logarithmique et ne pas dévié sur l'exponentiel.

Je pense qu'il faut en parler, regarde toi même tu es obligé de parler de e(x) pour définir ln(x), c'est deux fonctions qui vont ensemble, tant que tu dérives pas trop sur e(x).

Cordialement.

CorentinP · 02/08/2008 - 16h16

La définition de lnx c'est (lnx)'= 1/x
Je n'utilise pas l'exponentiel pour définir la fonction logarithme.

cypher_2 · 02/08/2008 - 16h29

Ta définition n'est pas exacte, ln(x) n'est pas la SEULE fonction f telle que f'(x)=1/x.

Exemple : tu prends la fonction g(x) = ln(-x).

$[ln(-x)]'=-1(\frac{1}{-x})=\frac{1}{x}$

ln(x) et ln(-x) ce n'est pas la même fonction, donc tu ne peux pas définir ln(x) seulement par [ln(x)]'=1/x.

De la même façon, e(x) peut se définir par e'(x)=e(x), mais aussi e(0)=1.

Donc il faut reprendre ta définition.

CorentinP · 02/08/2008 - 16h33

Dans mon cours c'est défini ainsi:

(lnx)'= 1/x , pour tout x e ]0, +infini[ et ln 1=0

Enfin ce n'est pas vraiment mon problème....

ALEX15000 · 02/08/2008 - 16h36

Une des définitions est:l'unique primitive de la fonction $\frac{1}{x}$ sur ]0; $+\infty$ [ qui s'annule en 1

cypher_2 · 02/08/2008 - 16h38

Voila ta deuxième définition me semble exacte.

EDIT: grillé par alex15000

cypher_2 · 02/08/2008 - 18h12

Sinon tu peux aussi définir la fonction $ln(x)$ comme la bijection réciproque de la fonction $e(x)$

Cette définition donne tout de suite de nombreuses propriétés de la fonction ln(x) comme son ensemble de défintion $D_f=]0;+ \infty[$ , la symétrie par rapport à $(D):y=x$ , ou encore ln(1)=0.

Par contre, je sais pas si on peut déduire qu'il s'agit de la primitive de 1/x.

Après ça dépend si tu souhaites définir ln(x) en fonction de e(x) ou non.

cypher_2 · 02/08/2008 - 18h32

Salut, je reviens sur la définition que je viens de poster :

On peut finalement en déduire que ln'(x) = 1/x grâce au théorème de la dérivation des bijection réciproque.

Il dit que si f est une bijection dérivable de I sur J, et $f^{-1}$ la bijection réciproque de f. Alors si f est dérivable sur I avec $f'(x)\neq 0$ , la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur J, avec :

$f^{-1}'(x)=\frac{1}{f'of^{-1}(x)$

Et si tu appliques tout ça au cas de $e^x$ et $ln(x)$ tu retombes sur 1/x car

$\frac{1}{e^{ln(x)}} =\frac{1}{x}$

Voila tu as pas mal de définitions

CorentinP · 02/08/2008 - 20h19

Envoyé par cypher_2

Voila tu as pas mal de définitions

Oui, sauf que ce n'est pas d'une définition que j'ai besoin......

Interprétation géométrique?
Caractéristiques?

Pour l'interprétation géométrique je me demandais si au final il ne me suffirait pas de tracer dans un repère la courbe de la fonction ln x?

Pour ce qui est des caractéristiques, faire l'étude de cette fonction?

cypher_2 · 02/08/2008 - 20h28

Pour la géométrie je conserve mon idée de la symétrie

Car, la forme d'une courbe je sais pas si on peut appeler ça de la "géométrie", c'est plus de la géométrie analytique, dans un repère, pas vraiment comme dans le plan.

Sinon pour les caractéristiques, une étude complète de la fonction c'est ce qui est attendu je pense.

Cordialement.

CorentinP · 02/08/2008 - 20h30

Je vais donc préparer mon étude dans cette voie...
Merci pour votre aide!

danyvio · 04/08/2008 - 17h10

L'interprétation géométrique que j'ai apprise il y a ... longtemps, est celle ci :

ln(x) est l'aire de la figure comprise entre la courbe y=1/x et l'axe des x, comptée à partir de l'axe x=1
Dans figure jointe, c'est la partie hâchurée