Démonstrations: limite d'une fonction à l'infini.

[Bigben 007]

Bonjour à tous!

Dans le cadre de la leçon sur les limites de fonction à l'infini (cours de terminale S), mon prof a énoncé deux propositions :

1) Un polynome a, lorsque x tend vers +, la même limite que son monome de plus haut degré.

Ex:




2) Une fonction rationnelle a, lorsque x tend vers +, la même limite que le quotient des monomes de plus haut degré du numérateur et du dénomitateur.

Ex:




Super!!!ça épargne beaucoup de boulot avec les F.I. Seulement, voilà... ces propositions n'étant pas "ROC"(Restitutions Organisées des Connaissances) au bac nous n'avons pas eu le droit à la démonstration.

C'est pour cela que je viens demander conseil ici, pour que l'on me donne des pistes afin que je retrouve la démonstration.
Hélas je suis comme ça: pourquoi devrais-je croire ce qui ne m'a pas été démontré?!?

En attendant vos réponses.
Au revoir.
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[Thorin]

Je ne peux qu'encourager cet esprit de vouloir la démonstration, surtout quand on utilise du Latex pour la demander !


L'idée est d'utiliser l'égalité suivante, que je te montre sur un exemple :



Il est clair que les 2 fractions dans la parenthèse tendent vers 0.
Ainsi, la parenthèse tend vers 1, et donc, la limite est la limite de (produit des limites, ici)

Pour les fractions rationnelles, tu fais la même chose que ce que j'ai fait ici, au numérateur d'un coté, et au dénominateur de l'autre.

Si tu veux des précisions, n'hésite pas.

[Bigben 007]

Merci beaucoup!! Je ne regrette qu'une chose... c'est de pas y avoir penser plutôt! Pour Latex je découvre encore.

Donc le cas général (avec trois monomes et le plus haut degré du polynome):



Donc les fractions entre parenthèse se simplifie et dans tous les cas seul le dénominateur possède un d'où leurs limites pour x tend vers + sont égales à 0. La valeur de la parenthèse est donc 1. Conclusion:



Pour la deuxième c'est bon aussi!! Merci.

Au revoir.