Divisibilité et congruences

[invitee37ce16f]

1) Montrer que pour tout entier naturel p, le reste de la division euclidienne de p^2 par 8 appartient à {0;1;4}
2) Pour tout entier naturel n, on considère l'équation (En) d'inconnue réelle x telle que :
x^2 + (4n-1)x + (2n-1)^2 = 0
a) résoudre léquation (Eo)
b)Démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 1 (En) admet deux solutions réelles distinctes;
c)Existe-t-il une valeur de n pour laquelle (En) admette deu solutions réelles rationnelles?

POur le 2) b), j'ai trouvé que delta de l'équation est >0 pour n>3/8 donc que delta>0 pour n>(oux égal)0 donc comme delta>o on a poue solutions x1=(-4n +1 +racine(8n-3))/2 et x2=(-4n +1 -racine(8n-3))/2 mais je ne trouve pas pour la qestion c).

Merci d'avance!!!!
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[MMu]

Pour avoir des racines rationnelles il faut que le discriminant soit un carré parfait , donc , d'où
Je te laisse continuer ...

[invite29e3e540]

Pour la 1), tu fais un tableau des restes modulo 8 de p², et tu dois trouver que seul les restes 0 1 4 apparaissent.
Ex : Restes modulo 8
p 0 1 2 3 4 5 6 7
p²
Et dans la ligne p² tu remplis.

[invitee37ce16f]

Ah merci en fait c'est très simple, mais je ne savais pas qu'il fallait que delta soit un carré parfait, avec cet éléùent, tout séclaire! Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee37ce16f]

Ah oui et pour ceux que ça intéresse, j'ai aussi un autr problème:
Voilà l'exercice:
1) Réduire 5^2 et5^4 modulo 16
En déduire que pour tout entier naturel k: 5^(4k+2) est congru à 9 modulo 16
2) Un est la suite arithmétique de raison 16 et de premier terme 9
Vn est la suite géométrique de raison 5 et de premier terme 1
a) déduire de la question 1) que ces deux suites ont une infinité
1 de termes égaux.
b)u1=v2=25 est la première égalité de termes égaux; déterminer les 2 suivantes.
3)a. etudier suivant les valeurs de l'entier naturel m, les restes de la division de 6^m par 16
b) on considère la suite arithmétique An de premier terme 8 et de raison 16 et la suite géométrique Bn de premier termes 9 et de raison 6
Démontrer que ces deux suites n'ont qu'un seul terme commun que l'on déterminera.
Alors pour la question 2)a) je vois bien qu'il faut trouver Vn-Un est congru à 0 modulo 16. Vn=5^n, il faut montrer que c'est congru à 9 modulo 16 mais je ne vois pas comment faire. Peut-on faire une disjonction de cas ou est-ce inutile?
E puis pour la question 3 je trouve que les restes à partir de m supérieur ou égal à 4 sont égaux à 0. Mais je ne vois pas comment faire pour la petit b.

Merci d'avance!!