[TS] Étude d'une fonction auxiliaire, je bloque !

[invite9f14624f]

Bonjour tout le monde,

J'ai un DM à rendre lundi et je sèche dès le départ ! :S

J'ai cette fonction : g(x) = x³ - 3x - 4

J'ai trouvé ses limites en +oo et -oo (ce sont respectivement +oo et -oo).

J'ai étudier ses variations avec sa dérivée.

Je dois maintenant trouver un réel a tel que g(a) = 0 et donner un encadrement de a d'amplitude 10^-2.

Je ne vois pas du tout comment faire pour trouver a et encore moins pour l'encadrer...

Si quelqu'un peut m'aider rapidement ça me débloquerait !

Merci par avance,
NesheK.
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[invite9f14624f]

Je pense qu'il faut résoudre g(a) = 0, ce qui revient à résoudre a³ - 3a - 4 = 0 ??? Mais comment résoudre cela ?

[Jeanpaul]

Clairement on te demande une solution numérique. Alors, le plus simple est de tâtonner. On voit assez vite que a est entre 2 et 3 donc tu essaies 2,5 et rebelote par intervalles de plus en plus petits.
Si tu as Excel tu peux calculer 10 valeurs entre 2 bornes que tu changes.

[invite9f14624f]

Merci Jean Paul ! Je viens de retrouver un exercice similaire qu'on a fait en classe, au final on calcule la valeur avec la calculatrice...

Voici ce que j'ai répondu à cette question :

Selon le théorème des valeurs intermédiaires, si g est continue sur un intervalle borné [a;b] alors elle prend toutes les valeurs conprises en g(a) et g(b).

Or nous avons démontré que g est dérivable et continue sur R.
g(-oo) < 0 et g(+oo) > 0 donc g(a) = 0 admet une unique solution dans R.

A la calculatrice, on détermine que a env. = 2,195833.

Encadrement d'amplitude 10^-2 de a :
2,19 < a < 2,20

Qu'en pensez-vous ??

Merci encore,
NesheK.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Le fait que la solution soit unique résulte d'abord du fait que la fonction est croissante entre +1 et l'infini.

[invite9f14624f]

Ok merci !! Effectivement, c'est plus logique !

Euh, maintenant je dois étudier le signe de g !... Il faut factoriser g ou pas ?

Un petit coup de pouce SVP !

[Jeanpaul]

Tu n'arriveras pas à factoriser g, il est plus simple de regarder le tableau de variation. A partir du moment où tu sais quand la fonction passe par zéro, tu as le signe partout.

[invite9f14624f]

Bin oui ! Suis-je bête !! Merci

Encore une petitie question :

J'ai f(x) = (x³ + 2x²)/(x² - 1) définie sur R - {-1 ; 1}

Et on me demande d'étudier les limites aux bornes de l'intervalle, donc en +oo et -oo, c'est bien ça ?

Le problème c'est que je trouve que des formes indéterminées oo-oo ou oo/oo, est-ce normal ? Quelles sont les limites de cette fonction ?

[Jeanpaul]

Normalement il y aurait aussi les limites en -1 et en +1
A l'infini, on s'en sort en mettant en facteur le plus gros exposant soit x^3 en haut et x² en bas. Après simplification la limite apparaît car ce n'est plus une forme indéterminée.

[invite9f14624f]

Pour x -> -oo, je fais :
lim x²(x + 2) = -oo
et lim x² - 1 = +oo

Mais au final lim (x²(x + 2)) / (x² - 1) = oo/oo = FI ?!!

Peux-tu me donner une des limites en l'infini stp !

Merci pour ton aide.

[Jeanpaul]

Tu n'as pas mis x^3 en facteur en haut et x² en facteur en bas ce qui t'aurait permis de voir une expression du genre x que multiplie quelque chose qui reste fini. Là tu pourrais conclure.

[invite9f14624f]

Je ne comprends pas !

C'est pour lundi et je suis loin d'avoir fini alors peux-tu me donner une des limites en l'infini de (x³ + 2x²) / (x² -1) stp stp stp que je comprenne le raisonnement !

Merci !

[invite9f14624f]

HELP svp !

[invite9f14624f]

Je récapitule ma demande :

1° - Quelles sont les limites en +oo et -oo de (x³ + 2x²) / (x² -1) et comment y parvenir ?

2° - Comment établir la tableau de variation de f(x) = (x³ + 2x²) / (x² -1) sachant que sa dérivée est f'(x) = (x (x³ - 3x - 4)) / ( x² - 1)² ?

Merci par par avance, c'est assez urgent,
Cordialement,
Neshek.

[Arkangelsk]

Salut,

Rien n'est "urgent" ici ! Pour les limites en et , factorise par le terme de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

[invite9f14624f]

Arkangelsk, merci pour ta réponse !

Justement c'est bien cela (que JeanPaul m'a aussi dit de faire) que je n'ai pas compris...!

Concrètement ça donne quoi ? Parce que j'ai beau factoriser, je tombe toujours au final sur une forme indéterminée oo/oo

Peux-tu me donner par exemple la démarche pour la limite en +oo de (x³ + 2x²) / (x² -1) ?

Merci à toi !!

[Arkangelsk]

Bon, je fais le numérateur :



Tu fais de même pour le dénominateur et tu peux conclure.

Attention, comme l'a dit Jeanpaul, il y a aussi des limites aux points -1 et 1, là où la fonction n'est pas définie...

[invite9f14624f]

Limite en +oo :

lim x³(1+2/x) = +oo

Si je factorise (x² - 1) j'obtiens x²(1) - 1, c'est bien ça ?

donc limite en +oo de x²(1) - 1 = +oo

Au final si je fais (lim x³(1+2/x)) / (lim x²(1) - 1) j'obtiens toujours du +oo / +oo donc FI ? Nan ?

Je saisis pas du tout la méthode là, je voudrai comprendre mais sans un exemple concret se rapprochant à mon exemple, je dout pouvoir y arriver :S

J'ai bien les limites en -1 et +1 par contre !

[Au passage, comment fais-tu pour écrire de jolies expression comme ça ? Parce que +oo pour + l'infini c'est pas top ! Merci]

Merci pour tout !!

[Arkangelsk]

lim x3(1+2/x) = +oo

Meuh..., je ne t'ai pas demandé de prendre la limite de ça !

Si je factorise (x2 - 1) j'obtiens x2(1) - 1, c'est bien ça ?

Non !! Mets en facteur, comme je l'ai fait pour le numérateur avec . Désolé, je ne peux pas le dire autrement.

Au final si je fais (lim x3(1+2/x)) / (lim x2(1) - 1) j'obtiens toujours du +oo / +oo donc FI ? Nan ?

Non, non, si tu factorises correctement.

[Au passage, comment fais-tu pour écrire de jolies expression comme ça ? Parce que +oo pour + l'infini c'est pas top ! Merci]

Comment je fais ? Eh bien, je suis magicien . Tu peux faire un tour ici...

[invite9f14624f]

Je sais de part l'exercice que les limites sont probablement en et .

Cependant, pour avoir la limite d'un quotien, on prend bien la limite du numérateur et celle du dénominateur et on les "divise" entre elles selon les règles de calculs sur les limites.

J'ai beau essayer de factoriser dans tous les sens j'obtiens toujours du ...

Ca me bloque vraiment pour tout le reste...

Merci par avance pour vos réponses.

[Arkangelsk]

Cependant, pour avoir la limite d'un quotien, on prend bien la limite du numérateur et celle du dénominateur et on les "divise" entre elles selon les règles de calculs sur les limites.

Certes, mais il faut "bricoler" un peu avant, sinon tu retomberas encore sur l'infini sur l'infini.

Comment veux-tu continuer si tu ne suis pas les indications ? Comme je te l'ai dit, il suffit de factoriser le dénominateur, simplifier et conclure.

[invite9f14624f]

Juste factoriser le dénominteur ? Par le numérateur alors ? Je capte rien !!

[Arkangelsk]

Bon, on va y aller tout doucement : j'ai déjà fait le numérateur .

Maintenant, factorise le dénominateur par son terme de plus haut degré exactement comme je l'ai fait pour le numérateur. A toi.

[invite9f14624f]

Salut,

Bon voici ce que j'ai, je vais essayer d'écrire ça bien en LaTex !























Alors, qu'en dis-tu ?

[Arkangelsk]

Qu'est-ce que j'en dis ? : .

Tu as mis le temps mais tu as trouvé. Retiens bien cette méthode.

Si quand même : il vaut mieux factoriser le numérateur par , même si cela revient au même pour cet exemple.

[invite9f14624f]

Merci pour tes conseils en tous cas ainsi qu'à JeanPaul !

J'ai lu que factoriser par le terme de plus haut degré "tuait" les autres termes... Qu'est-ce que cela signifie ?

Sinon, j'ai fini mon devoir, la seconde partie portait sur les nombres complexes... Je vous dirai le résultat !

Merci encore,
@micalement,
NesheK.

[Arkangelsk]

J'ai lu que factoriser par le terme de plus haut degré "tuait" les autres termes... Qu'est-ce que cela signifie ?

Cela signifie que tu es un boucher. Ne pas comprendre "tuer un boucher", hein...

Plus mathématiquement, on ne dit pas "tuer les autres termes" (je ne sais pas où tu as lu ça). On dit plutôt qu'à l'infini, les termes de puissances inférieures sont négligeables.