DM Maths TS : Exponentielles : continuité et démonstration

[invite254fa48d]

Bonsoir !

J'ai un DM pour demain, et après des heures de recherche, je viens chercher un peu d'aide ici parce que je n'y arrive vraiment pas.

Voici l'énoncé : On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = (xe^x)/(e^x-1) et f(0)=1

1/Démontrer que f est continue en 0

2/ Démontrer que pour tout réel x, on a e^x>x+1 et que l'égalité n'a lieu que pour x=0

J'ai essayé de démontrer la continuité, or, pour le démontrer, il faut, si j'ai bien compris, que la limite en 0 soit égale à f(0) or quand je cherche les limites en 0, je trouve 0 et non 1, or f(0)=1...

Pour le 2/, je ne vois pas comment faire, il faut que je passe par la forme ex-x-1>0 apparamment, mais je ne vois pas comment le démontrer. Cette question est très important car elle va me servir dans la suite du DM

Merci d'avance pour votre aide =)
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[Arkangelsk]

Bonsoir !

Quelques indications :

Pour le 1/, la fonction est bien continue en 0. Tu as une forme indéterminée dont il faut s'affranchir... J'essaie de trouver une méthode adaptée à ton niveau.

Pour le 2/, tu peux par exemple étudier les variations de la fonction définie sur et telle que .

[invite254fa48d]

Merci pour la 2/ ! je crois avoir trouvé =)
J'ai donc étudié comme une fonction exp(x)-x-1, sa dérivée est donc exp(x)-1, le signe de cette dérivée est positif pour x plus grand que 0 et négatif pour x inférieur à 0, elle est donc décroisasnte pour x plus petit que 0 et croissante pour x positif. f(0) vaut 0, donc exp (x) - x - 1 toujours positif donc exp (x) toujours plus grand que x+1, c'est bien ça ?

[Arkangelsk]

Bon, pour le 1/, tu peux poser soit .

Donc, .

Tu obtiendras un taux d'accroissement dont il faudra déterminer la limite quand tend vers .

EDIT :

Merci pour la 2/ ! je crois avoir trouvé =)
J'ai donc étudié comme une fonction exp(x)-x-1, sa dérivée est donc exp(x)-1, le signe de cette dérivée est positif pour x plus grand que 0 et négatif pour x inférieur à 0, elle est donc décroisasnte pour x plus petit que 0 et croissante pour x positif. f(0) vaut 0, donc exp (x) - x - 1 toujours positif donc exp (x) toujours plus grand que x+1, c'est bien ça ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite254fa48d]

Euh, je me trompe peut-être, masi il me semble qu'on a pas (encore) fait les taux d'acroissements, parce que je vois pas à quoi ca correspond. Du coup je peux pas avancer le 1/ ...

[VegeTal]

Moi ce que je te propose c'est de multiplier par puis de remarquer qu'on a :

(en arrangeant un peu...)

de là tu en déduis la limite en 0...

[Arkangelsk]

Bonjour,

Euh, je me trompe peut-être, masi il me semble qu'on a pas (encore) fait les taux d'acroissements, parce que je vois pas à quoi ca correspond. Du coup je peux pas avancer le 1/ ...

Tu as certainement vu le taux d'accroissement, par exemple pour la définition du nombre dérivé.

Le taux d'accroissement est la fonction telle que :



Si la fonction est dérivable en , le nombre dérivé est égal à la limite de quand tend vers .