Courbes

[inviteeb731bdb]

Bonjour à tous,
Je bloque sur qlques questions de cet exercice. Si vs pouvez m'aider je vs en serez très reconnaissant.
Voici l'énoncé:
Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul.
On étudie la fonction fn (x)= xex-nx

A.
Soit gn(x)=(1+x)*ex-n

1) Déterminer la dérivée de gn. Faire le tableau de variation de gn et déterminer les limites de gn aux bornes de son ensemble de défintion.

2) Montrer que gn s'annule pour une unique valeur an et que an est positif ou nul.

3) Montrer que an=ln(n/(1+an)) et 0<an<ln(n)

4)
a) Montrer que, pour tout réel x strictement positif, on a
ln x <x-1 (1)

b) Déduire de (1) le signe de gn(lnVn). V signifie racine

c) Justifier que 1/2*ln n<an.Quelles sont les limites des suites de termes général an et an/n ?

Voilà alors je n'arrive pas a la question 2 pr démontrer que an est positif ou nul.
Sinon la 3 j'ai fait, ainsi que la 4a) et je bloque au b).
Pouvez vous m'aider svp
-----

[inviteeb731bdb]

Personne ne peut m'aider?! S'il vs plait...

[Flyingsquirrel]

Salut,

Voilà alors je n'arrive pas a la question 2 pr démontrer que an est positif ou nul.

Il suffit de se servir du tableau de variations que tu as construit pour répondre à la première question.

et je bloque au b).

Grâce à l'inégalité (1), on sait que et on peut se servir de cette dernière inégalité pour majorer .

Personne ne peut m'aider?! S'il vs plait...

Un peu de patience, personne ne s'est engagé à te répondre en moins de 40 minutes ! En plus on est dimanche matin, il est presque midi...

[VegeTal]

théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que l'unique solution de est positive ou nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeb731bdb]

Dsl pr mon impatience.
Ac mon tableau de variation on ne peut pas savoir si il est positif ou nul, c'est bien ca le pb. an est ds l'intervalle (-2;+infini(

[Flyingsquirrel]

Ac mon tableau de variation on ne peut pas savoir si il est positif ou nul

Soit mais en utilisant le tableau et en montrant que , tu devrais y arriver.

[VegeTal]

si ta solution est comprise dans tu peux encore affiner la précision... dis nous quand tu auras restreins à par exemple.

[inviteeb731bdb]

C'est juste si j'écrit:
gn(0)<0
(1+0)e^0-n<0
1<n ?

[inviteeb731bdb]

Nan ca va pas!
vaut mieux dire:
gn(x)<0
(1+x)e^x-n<0
e^x<n/(1+x)
x<ln(n/(1+x) ??

[inviteeb731bdb]

Mais pr la 4) b
Je ne vois pas

[Flyingsquirrel]

C'est juste si j'écrit:
gn(0)<0
(1+0)e^0-n<0
1<n ?

Oui. Comme cette dernière inégalité est toujours vérifiée (car est un entier naturel non nul) on en déduit que est aussi vraie. Il faut maintenant suivre l'indication donnée par VegeTal (message #4).

Mais pr la 4) b
Je ne vois pas

Et moi je ne comprends pas ce qui te bloques. On sait que donc tu peux exprimer en fonction de (montres-nous ce que tu obtiens). Il faudra ensuite utiliser ...

[inviteeb731bdb]

Pr la b, j'obtient:
gn(ln(Vn))=(1+ln(Vn))*e^(ln(Vn ))-n=Vn+Vn*ln(Vn)-n=(1+ln(Vn))*Vn-n
et la je dit que (1+lnVn)*Vn<n
Dc gn est négatif ??

[Flyingsquirrel]

Dc gn est négatif ??

est négatif, oui.

[inviteeb731bdb]

et pr la c
je ne sais pas d'ou partir, pr prouver que 1/2ln(n)<an ?
Pouvez vs me donner une piste svp

[Flyingsquirrel]

Pouvez vs me donner une piste svp

Il faut utiliser (en la transformant un peu) l'égalité puis l'inégalité (1).

[inviteeb731bdb]

olala je suis perdu:
j'obtient:
ln(an)<an-1
ln(an)<ln(n/an+1)-n
an<e^(ln(n/an+1)-n)
et la je suis perdu!

[Flyingsquirrel]

et la je suis perdu!

Oui, tu as fait l'inverse de ce que je te suggérais. Reprenons : on veut prouver que et l'on sait que c'est-à-dire que . Vois-tu ce que l'on peut faire de ça ?

[inviteeb731bdb]

Euh non,j'ai envie de dire qu'on peut faire:
ln(an)<ln(n)-ln(an+1)-n ?
mais je vais retomber sur qlqchose de faux!

[inviteeb731bdb]

ou sinn je met
an>ln(n)/2
ln(an+1)>ln(n)
mais apresque faire ?

[inviteeb731bdb]

a si apres on obtient a la fin:
an>n-1
ais je le droit de dire que cette proposition est tjrs vrai ?

[Flyingsquirrel]

j'ai envie de dire qu'on peut faire:
ln(an)<ln(n)-ln(an+1)-n ?

Pourquoi fais-tu apparaître un terme alors que notre but est d'obtenir ? Si l'on repart de , il vaudrait mieux, au contraire, faire "sortir" du logarithme. C'est là que l'inégalité intervient : il suffit d'écrire que puis...

an>n-1
ais je le droit de dire que cette proposition est tjrs vrai ?

Non. (grâce à la l'inégalité (1)) serait contradictoire avec la réponse à la question 3 où tu as prouvé que .

[inviteeb731bdb]

je suis dsl mais je voit pas du tt, je suis completement perdu
Je pars d'ou ?

[Flyingsquirrel]

Je pars d'ou ?

Tu pars de . En utilisant les propriétés du logarithme () on transforme cette égalité en . On passe ensuite le terme à gauche pour obtenir . Maintenant il n'y a plus qu'à utiliser avec ...

[inviteeb731bdb]

si je fais ce que vs me dites,j'obtient:
an=ln(n/1+an)
an=ln(n)-ln(1+an)
an+ln(1+an)=ln(n)
ln(an+1)<an+1-1
ln(an+1)-an<0
et je suis encore perdue?

[Flyingsquirrel]

si je fais ce que vs me dites,j'obtient:
an=ln(n/1+an)
an=ln(n)-ln(1+an)
an+ln(1+an)=ln(n)

Oui, on a (). Pour la suite, l'inégalité (1) nous donne soit . On en déduit que

[inviteeb731bdb]

en arrivant a ln(1+an)<an sachant que ln(n)=an+ln(1+an)
on a ln(n)-an<an dc ln(n)<2an dc ln(n)/2<an
waou miracle

[inviteeb731bdb]

qd un pb se resout, un autre se créé:
quelles st les suites de terme général an et an/n
pr an, la suite est minoré par ln(n)/2 je suppose mais pr an/n ?

[Flyingsquirrel]

waou miracle

quelles st les suites de terme général an et an/n ?

J'imagine que l'on cherche les limites des deux suites.

pr an, la suite est minoré par ln(n)/2

C'est maladroit de dire ça, un minorant de la suite ne peut pas dépendre de . Mais je suis d'accord avec ton idée, on peut trouver la limite de cette suite en utilisant .

mais pr an/n

C'est le moment de se servir de .

[inviteeb731bdb]

je ne comprends pas car tout est en fct de n ?

[Flyingsquirrel]

je ne comprends pas car tout est en fct de n ?

Et ? Pourquoi est-ce que ça pose problème ?