Carré réel

[Quinto]

Salut,
lorsque j'étais en terminal, je me suis demandé pourquoi l'on avait que le produit de 2 nombres réels du même signe était positif, et négatif sinon, et je n'ai jamais eu ma réponse explicite...

Je me suis rendu compte qu'on nous l'a jamais démontré, et hier sur un forum, j'ai lu qu'un prof demandait en seconde une telle démonstration.
A mon avis, ca n'a pas de sens car c'est trop compliqué à ce niveau là d'avoir une démonstration rigoureuse.

J'aimerai savoir comment vous démontreriez ceci.
Ma démonstration passe par la complétude de R.
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[Evil.Saien]

j'imagine que c'est pas en faisant:
-1 * -1 = 1 ??

[Evil.Saien]

Plus sérieusement, est-ce qu'il faut considérer "-" comme un opérateur ? Si on dit que c'est un opérateur défini comme suit:
= opposé de
Donc, maintenant il faut montrer que l'opérateur inverse de "-" est "-".
Ca se montre ca ou est-ce une définition ?

[Antikhippe]

j'imagine que c'est pas en faisant:
-1 * -1 = 1 ??

LOL ! Même un élève de collège pourrait dire ça, alors, ce n'est pas ce que doit attendre Quinto...

Mais tout simplement aussi : quand on multiplie par un nombre négatif, on "change" de sens donc quand on multiplie 2 nombres négatifs, on change 2 fois de sens ce qui revient au même donc un produit de 2 nombres négatifs est positif...

Je ne sais pas si c'est accepté comme démonstration...

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

C'est toujours la même chose avec ce genre de problèmes.
D'où est-ce qu'on part ? On reconstruit IR et on montre la propriété en chemin ? Ou on part d'une des manières de définir IR ?

[Quinto]

Salut,
en fait je pars de l'existence de N, puis de Z, de Q, et je le complete pour arriver à R.

Sinon j'avais aussi montré ca par une méthode qu'expose Evil.Saien, c'est à dire que je prenais R comme anneau totalement ordonné.

[Evil.Saien]

Salut,
en fait je pars de l'existence de N, puis de Z, de Q, et je le complete pour arriver à R.

Sinon j'avais aussi montré ca par une méthode qu'expose Evil.Saien, c'est à dire que je prenais R comme anneau totalement ordonné.

Heu, si tu le dis... J'ai aucune idée de ce qu'est un anneau...

[Antikhippe]

J'ai aucune idée de ce qu'est un anneau...

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×. On dit que (A,+,×) est un anneau si :

* (A,+) est un groupe commutatif.
* × est associative.
* × est distributive par rapport à l'addition.

[Evil.Saien]

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×. On dit que (A,+,×) est un anneau si :

* (A,+) est un groupe commutatif.
* × est associative.
* × est distributive par rapport à l'addition.

si j'ai bien compris c'est:
* a+b = b+a
* c*(d*e) = c*d*e
* a*(b+c) = a*b + a*c
?

[Antikhippe]

si j'ai bien compris c'est:
* a+b = b+a
* c*(d*e) = c*d*e
* a*(b+c) = a*b + a*c
?

Oui, tout ça, c'est vrai dans R donc R est un anneau.

[matthias]

il faut aussi les propriétés de groupe quand même.

[Gwyddon]

le mieux je pense c'est de dire que la construction de IR en fait un corps commutatif totalement ordonné (genre avec les sections commençantes ouvertes de Q par exemple) donc en particulier un anneau commutatif totalement ordonné, d'où la démonstration avec le fait que - (-a) = a (par définition de l'opposé d'un nombre)

[martini_bird]

Salut,

- (-a) = a (par définition de l'opposé d'un nombre)

tout est là: quelque soit la construction de R, à moment ou à un autre on obtient sa structure de groupe (abélien).

[MODE=Je chipote] Ceci dit, dans un groupe, ça se démontre que -(-x)=x (ou (x^-1)^-1=x), la définition de l'opposé (ou inverse) étant sensiblement différente.


Cordialement.

[Gwyddon]

[MODE=Je chipote] Ceci dit, dans un groupe, ça se démontre que -(-x)=x (ou (x^-1)^-1=x), la définition de l'opposé (ou inverse) étant sensiblement différente.


Cordialement.

Non non tu ne chipotes pas tu as raison, j'ai été un peu vite

La définition de l'opposé dans un groupe additif (G,+) étant à x fixé "l'élément b dans G tel que a+x = x+ a =0", b étant noté -x, on a :

a+x = x+a =0 donc l'opposé de a est x ; ainsi, l'on a -a = x, mais a = -x, donc -(-x) = x.

Merci d'avoir chipoté, car il s'agit d'être précis et je ne l'avais pas été.

[Bobby]

Pour ce qui suit on va admettre que le produit de deux nombres positifs est positif.
Soient a et b deux réels positifs :

Alors 0 = a*0 = a(b-b) = ab+a(-b) <=> -ab = a(-b)

Le produit de 2 réels de signe contraire est donc négatif.

Pour le produit de deux négatifs le raisonnement est similaire :

0 = -a(b-b) = -ab + (-a)(-b) <=> ab = (-a)(-b) (donc positif car admis au début)

J'ai vu cette démonstration dans un cours de cinquième

[chrisgir]

t'avais vu les équivalences en 5è???

On a du attendre la seconde pour qu'on nous en parle (ca fait loin déjà!)

[Antikhippe]

S'il l'a vu dans un livre de cinquième, c'est qu'il a adapté la démonstration ou alors, c'est que c'est un livre des années 30 !

Sinon, qu'est-ce-qu'une application interne et une application externe ?

[Père Occide]

Bonjour.
Je m'aprêtais à donner une démonstration semblable à celle de Bobby, mais il m'a devancé. Trouver une telle démonstration dans un livre de 5ème n'est pas surprenant. Il doit dater des années 70-80, époque où l'enseignement des maths était en plein délire moderniste, avec la théorie des ensembles en 6ème, les structures de groupe, d'anneau et de corps en 4ème, les espèces vectoriels en seconde et j'en passe.

[Père Occide]

Erratum : sur le post précédent, ce sont les espaces vectoriels et non les espèces vectoriels

[matthias]

Bonjour.
Je m'aprêtais à donner une démonstration semblable à celle de Bobby, mais il m'a devancé. Trouver une telle démonstration dans un livre de 5ème n'est pas surprenant. Il doit dater des années 70-80, époque où l'enseignement des maths était en plein délire moderniste, avec la théorie des ensembles en 6ème, les structures de groupe, d'anneau et de corps en 4ème, les espèces vectoriels en seconde et j'en passe.

Du Bourbaki tout craché ça

[Bobby]

En fait j'ai vu ça dans un cours polycopié distribué par le professeur à ses élèves. C'était exactement ça aux équivalences près, le tout saupoudré de phrases. Mais je n'ai jamais eu affaire à cetet démonstration dans ma scolarité. Sinon c'est bien d'avoir soulevé le problème, il me semble que Stendhal avait une aversion contre les enseignants qui n'arrivaient pas à lui fournir une preuve tangible.

[Bobby]

J'ai oublié de préciser que j'ai vu le polycopié en question l'an dernier.

[Quinto]

Mais tu as quand même admis que le produit de 2 positifs étaient positifs.
En gros, tu n'as rien démontré quoi...

j'avais construis une belle démo à ce sujet, mais elle utilise des notions plus complexes qu'elles ne le devrait... (mais la démo est belle quand même)

On part de la définition de Z, on montre ce que l'on y souhaite (par récurrence, ca marche plutôt bien)
Ensuite, on étend le résultat à Q, c'est simple, mais il faut faire attention au fait que si a>0 1/a> n'est pas forcément trivial (puisque c'est un corollaire de ce qu'on souhaite montrer...)
Et ensuite, on passe par le fait que Q est dense dans R, et que si un>0 alors lim(un)>=0, et ca montre le résultat.

Cependant, maintenant que j'y pense, j'avais fait une démo largement plus simple s'appuyant sur la notion d'anneau de R...