Est-ce un cercle/arc de cercle?

[Lucas41]

Bonsoir,
je bloque sur un exercice ou je dois montrer que la courbe représentative de la fonction sur [0;1] n'est pas un arc de cercle. Enfin, la question est "est-ce que c'en est un", mais je pense bien que non. Il faut donc que je justifie et je ne sais pas comment faire. J'ai pensé à un raisonnement par l'absurde : étant donné la tête de la courbe, si c'est un arc de cercle il est de centre (1;1) et de rayon 1, mais je ne sais pas non plus comment le prouver numériquement, bref, je tourne un peu en rond, si quelqu'un pouvait m'aider ...

Merci d'avance.

[VegeTal]

Je connais pas les équations des arcs de cercle mais les équations des cercles c'est :

.

[Lucas41]

Justement, je ne sais pas non plus, je pense qu'on doit trouver la même chose, enfin, ça ne m'avance pas beaucoup ...

[VegeTal]

Enfin un arc de cercle c'est un morceaux de cercle... donc tu dois pouvoir exprimer ta fonction sous forme sinon ce n'est pas un arc de cercle.

[Lucas41]

Oui, mais comment prouver que si je n'ai pas réussi à la mettre sous cette forme ce n'est pas juste paske j'en suis pas capable ? n_n'

[mystic_snake [Théo]]

, c'est bien sur le de l'exemple type.
avec l'équation qui définit ta fonction, tu peux essayer de factoriser et de mettre sous la forme qu'on t'a dite.
si ça coince c'est que c'est pas un bout de cercle

[Lucas41]

Je sais bien que f(x) et y sont la même chose. Seulement, je ne peux pas dire dans mon exercice "la courbe n'est pas un arc de cercle car je n'ai pas réussi à la mettre sous la forme (x-a)²+(y-b)²=r²" ...

[mystic_snake [Théo]]

et bien pourtant si, tout cercle a une équation de cette forme, et si c'est un cercle alors il a forcément une équation de cette forme.
si il n'y en a pas, c'est que c'en est pas un, c'est quand même on ne peut plus rigoureux.

[-Zweig-]

Salut,

Remarque que appartient à ta courbe si et seulement si

Si , alors , soit . Donc appartient à la courbe.

Réciproquement, si appartient à la courbe, alors car

Maintenant pose et . Je te laisse conclure.

[-Zweig-]

Oui bon oublie ma "conclusion" elle est bien sûr fausse !

[Weensie]

Pour prouver qu'une courbe est un arc de cercle sur , il faut prouver l'existence d'un point (notons le P) tel que sur cet intervalle , pour tout point M(x;y) appartenant à cette section de courbe , le segment [PM] soit perpendiculaire à l'ensemble des tangentes à la section de courbe sur cet intervalle .
Inversement pour prouver que ce n'est pas un arc de cercle , il faut prouver qu'il ne peut exister un tel point P

[-Zweig-]

Je reviens avec cette fois-ci la bonne méthode (différente de celle de Weensie) :

L'idée est de considérer 3 points appartenant à la courbe, par exemple les points A(1,0), B(0,1) et C(0.25,0.25). On détermine l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC puis on choisit un point de la courbe, par exemple M(1/9, 4/3) et on montre qu'il n'appartient pas au cercle circonscrit, ça suffit pour affirmer que cette courbe n'est pas un arc de cercle.

[tuan]

Salut.
L'équation du 2^nd degré en x et y (la plus générale)
Ay² +2Bxy +Cx² + 2Dy +2Ex +F = 0
est une fonction implicite d'une CONIQUE dans la forme "normale" ou dégénérée.
Selon la valeur de RHO = B²-AC , on classe les coniques en 3 genres:
RHO<0 : genre ELLIPSE (ellipse, cercle, 1 point)
RHO=0 : genre PARABOLE (parabole, 2 droites parallèles, 2 droites confondues)
RHO>0 : genre HYPERBOLE (hyperbole, 2 droites sécantes)

Ici, à partir de y=x –2sqrt(x) +1 j'écris 2sqrt(x) = -y +x +1
Au carré à y2 +2xy +x2 +2y –2x +1 = 0 (note 1)
RHO=1 –1 = 0
donc ce n'est pas genre ellipse
donc ce n'est pas un (arc) de cercle

Notes:
1. Cette équation inclut aussi l'autre "moitié" de la parabole -2sqrt(x) = -y +x +1
2. Cas cercle = genre ellipse et A=C et B=0

[tuan]

Ici, à partir de y=x –2sqrt(x) +1 j'écris 2sqrt(x) = -y +x +1
Au carré à y2 +2xy +x2 +2y –2x +1 = 0 (note 1)
RHO=1 –1 = 0
donc ce n'est pas genre ellipse
donc ce n'est pas un (arc) de cercle

J'ai remarqué tard que j'avais eu un problème avec l'éditeur...
Il faut lire
Au carré : y² +2xy +x² +2y –2x +1 = 0 (note 1)

[-Zweig-]

Certes, sauf que les coniques ne sont pas (plus) au programme du Lycée Et au vu cet exercice, je suppose que cette personne est encore au Lycée !