Equa Diff y'=y^2

[VegeTal]

Bonsoir,

En physique, on rencontre souvent des équations différentielles de la forme . Notre prof nous a dit que les résoudre n'était pas du niveau de TS.

Seulement au repas, je me dis tient soit l'équation la fonction est solution non ?

Ensuite je part d'un cas simple là aussi je remarque que serait solution. Mais j'essaye avec une méthode qui me paraissait bonne (que j'ai trouvée sur FS d'ailleurs).

Pour résoudre on fait est ce que l'on peut intégrer le premier membre ?

Qu'en est t-il du cas général ? ou A et B sont des constantes, le cas ou B serait une fonction me paraitrait plus difficile...

En espérant avoir quelques éclaircissements
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[Arkangelsk]

Bonsoir,

Seulement au repas, [Le repas porte-t-il conseil ? ] je me dis tient soit l'équation la fonction est solution non ?

Oui.

Ensuite je part d'un cas simple là aussi je remarque que serait solution. Mais j'essaye avec une méthode qui me paraissait bonne (que j'ai trouvée sur FS d'ailleurs).

OK.

Pour résoudre on fait est ce que l'on peut intégrer le premier membre ?

Oui.

Qu'en est t-il du cas général ? ou A et B sont des constantes

Sous ces hypothèses, tu peux intégrer de la même façon que précédemment.

Le cas où B (ou A) serait une fonction me paraitrait plus difficile...

Dans ce cas, avec "fonction", il n'y a pas de solution générale.
On passe de "constante" à "fonction", tout de même !

[VegeTal]

Merci pour ton post clair, et oui le repas chez moi porte conseil .

En ce qui concerne comment faire ?

on intègre et on s'occupe du B après ? si tu pouvais me filer un petit exemple

[Arkangelsk]

Merci pour ton post clair, et oui le repas chez moi porte conseil .

En ce qui concerne comment faire ?

on intègre et on s'occupe du B après ? si tu pouvais me filer un petit exemple

Hum, c'est plus compliqué que je le pensai au premier abord ... mais on devrait quand même pouvoir s'en sortir. Est-ce que tu connais la fonction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[VegeTal]

Je sais que arctan(x) c'est la fonction réciproque de tan(x).

donc .

Vu qu'en physique on a pratiquement que de la forme c'est cella qui m'intéresse le plus

[invitece2661ac]

Bonsoir:
Pour resoudre y' = Ay^2 +B

on peut l'ecrire sous cette forme : y' - Ay^2 = B ( equation differentielle avec second membre)

La solution generale d'une telle equation est la somme d'une solution sans second membre y1( B=0) avec une solution particulierey2: y = y1 +y2

Solution y1: y' - Ay^2 = 0 tu applique ta solution que tu as trouve intuitivement (-A/x) en effet:
On a : y' - Ay^2 = 0 donc : y' = Ay^2 donc : y'/y^2 = A
Or : y'/y^2 = -(1/y)' = A ce qui donne : 1/y = -A.x + K
et donc en fin : y1 = 1/(-A.x+K) K etand une constante

Pour la solution particuliere il existe des methodes pour la determination de cette solution; toute fois on peut determiner cette solution intuitivement ( puisque les repas ne manque sans doute pas chez toi) :
y' - Ay^2 = B ......-e-
puisque le second membre est vune constante on peut donc dire que y2 = constante est solution; on pose donc y2= H = constante ( y'2 = 0)
donc l'equation -e- devient: - A.H^2 = B ce qui donne H = racine carre(-B/A)
en fin y2 = H = racine carre(-B/A) [ (-B/A) doit etre positif]

Finalement la solution generale est : y = 1/(-A.x+K) + racine carre(-B/A)
Pour la valeur de K on doit imposer la valeure de y pour une valeure de x donné( par exemple pour x = 0 ; y(0) = .....)

[Arkangelsk]

Je sais que arctan(x) c'est la fonction réciproque de tan(x).

donc .

Vu qu'en physique on a pratiquement que de la forme c'est cella qui m'intéresse le plus

En réfléchissant, je crois que dans un premier temps tu devrais considérer le cas où et sont de signes différents. Dans ce cas, tu peux t'en sortir uniquement avec les connaissances de Terminale S .

[VegeTal]

Merci c'est tout ce que j'attendais. je vais tout de suite sortir mon bouquin de physique pour faire une application et voir si ça marche, Adieu la méthode d'Euler !!

Encore merci

[Arkangelsk]

Je n'ai pas bien lu son message, mais j'ai de gros doutes sur ce que nabil1235789 a écrit ci-dessus. J'y reviendrai plus tard .

[VegeTal]

Moi aussi j'ai quelques doutes c'est pour ça que je vais tester sur un exercice de physique, manque de pot le premier que je "tire" au hasard c'est une équation différentielle de la forme y' = Ay + B ...

[VegeTal]

Bon apparemment ça marche mais pas

[Arkangelsk]

Bref, la méthode de nabil1235789 n'est pas valable du tout. Si tu prends , la fonction est une solution de l'équation de départ. Donc, je réitère mon conseil : commence par étudier le cas où et sont de signes différents.

[VegeTal]

Soit la l'équation avec

On devrait avoir comme solution

or

et

donc :


ce qui prouve que y n'est pas solution donc la formule qu'on ma donnée est fausse !

[VegeTal]

Bref, la méthode de nabil1235789 n'est pas valable du tout. Si tu prends , la fonction est une solution de l'équation de départ. Donc, je réitère mon conseil : commence par étudier le cas où et sont de signes différents.

une piste dans la méthode ? pourquoi m'as tu parler de tan ?

[Arkangelsk]

Eh bien, pour , la fonction tangente est solution, non ?

Tu peux essayer de résoudre , c'est déjà un bon point de départ.

[VegeTal]

Ok je crois que j'ai compris :






Faut trouver un truc de la forme tan(x)...

[invite0387e752]

euh je veux pas faire mon malin, mais qu'est ce qui vous permet d'écrire y+1 au dénominateur ?
y+1 peut très bien s'annuler

[prgasp77]

Arctan n'est pas défini pour tout réel
Mais tu as raison, ça manque de rigueur tout ça

[invitec053041c]

Arctan n'est pas défini pour tout réel

Ah bon ?

Ce type d'équa diff peut s'intégrer "simplement" grâce à la méthode dite de séparation des variables. Il suffit d'écrire y'=dy/dx.

Prenons par exemple a et b>0, l'équation devient:



il suffit de mettre un coup d'intégrale de chaque côté (sans oublier la constante d'intégration, et le tour est joué).
Pour que ce soit plus parlant,je vais prendre a=b=1, mais on peut traîter aussi facilement le cas a et b quelconques:


(sans trop prendre de précautions..).

Un autre exemple: a=1, b=-1, l'équation devient:



une petite résolution de cette équation en y conduit à :



Si je ne me trompe pas, où lambda est une constante quelconque (>0 en fait, cf nb).
Bref, tout ça pour montrer que la séparation des variables (qui suppose de pouvoir intégrer une expression plus ou moins compliquée, et de savoir résoudre en y) peut porter ses fruits.

nb: on a ici d=2c, et lambda=exp(d), mais vu qu'on manipule des constantes quelconques, on s'en fout un peu, et on renomme allègrement.

[prgasp77]

Mais qu'est-ce que je dis moi :'(
Oui oui c'est bien la manière de faire, mais je pense que la question de VegeTal est de savoir si cela est réalisable avec les outils de Terminale S, où les différentiels ne sont pas encore définis.

Désolé pour la bourde.

[invitea3edf3aa]

Bonjour
Comme le dit Ledescat,on peut intégrer simplement . On peut
faire autrement à condition de connaître les dérivées de arc tan et
de Ln :
Soit x ' la dérivée de x par rapport à y .
L 'équation s'écrit
Ax ' = 1/(y²+B/A)
1°/ Si B/A>0 posons B/A = k²
1/(y²+k²) est la dérivée par rapport à y de
( 1/k) arc tan(y/k) + constante
2°/ Si B/A<à posons B/A = -k²
1/(y²+k²) est la dérivée par rapport à y de
(1/2k)Ln((y-k)/(y+k)) + constante
On peut ensuite si on le désire passer de x=fonction de y à
y = fonction de x .
Mais normalement, c'est la méthode de Ledescat qu'on utilise .

[invitea3edf3aa]

erreur de frappe : Pour 2°/ lire
2°/ Si B/A<O
(et non B/A<à )

[Arkangelsk]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, si et sont de même signe, alors les solutions de l'équation sont les fonctions telles que :



où est une constante telle que , si est défini.

Comme l'a justement fait remarquer warznok, le cas où et sont de signes différents est plus délicat à traiter car ou peuvent très bien s'annuler. Il convient donc d'être rigoureux .

[invitec053041c]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, si et sont de même signe, alors les solutions de l'équation sont les fonctions telles que :



où est une constante telle que , si est défini.

Je suis d'accord avec toi (pour a et b de même signe, non nuls).

[invitec053041c]

(doublon encore!)

[Arkangelsk]

Je suis d'accord avec toi (pour a et b de même signe, non nuls).

Oui. Si est nul, alors pour réel quelconque non nul, , donc , où est une constante.

Si et sont nuls simultanément, les solutions sont les fonctions constantes : , où est une constante.

Si est nul et différent de , alors l'équation devient :



Les solutions sont donc les fonctions telles que , où est une constante. Sous réserve que ne s'annule pas sur l'intervalle considéré.

[invitec053041c]

Au passage, tu peux regrouper les deux derniers cas ensemble (chipotage).

[invite6e68b413]

Bonjours je suis nouveau et en regardant ce que vous avez mit j'ai essayé de résoudre l'équation mais différement
si on part de y'=ay^2+by avec la méthode z=1/y donc y=1/z on trouve :
y=1/(-b/a+C.e^(-bx)) avec C constant

Avec la même méthode on peut résoudre y'=ay^2+by+c :
Soit z=y-k avec k constant et quelconque on a y=z+k donc :
(z+k)'=a(z+k)^2+b(z+k)+c
k étant constant on a : (z+k)'=z'
donc z'=a(z^2+2kz+k^2)+b(z+k)+c
donc z'=(az^2+2akz+bz)+(ak^2+bk+c)

Maintenant si on fixe k comme racine (réel ou complexe) du trinôme ax^2+bx+c on a :
z'=az^2+(2ak+b)z que l'on réssou grâce à la première équation :

z=1/(-a/(2ak+b)+C.e^(-(ak+b)x))
et donc comme y=z+k

y=1/(-a/(2ak+b)+C.e^(-(ak+b)x))+k

Merci si quelqu'un lit ce message de vérifier si je n'ai pas faut de faute bête pour le raisonnement je pense que c'est bon