Equation de droite passant par un vecteur

[mx6]

Bonsoir ,
Je dois démontrer que deux droites sont perpendiculaires, pour cela je connais deux méthodes :
- Produit scalaire des vecteurs directeurs vaut 0.
- Produit de leurs coefficients directeurs vaut -1.

J'ai un point de cordonnées , M étant l'extremum d'une courbe, et j'ai le point .

Je dois démontrer que la tangente passant par M, et la droite passant par AM sont perpendiculaires.

La tangente passant par M, est horizontale, d'équation .
Et la droite passant par A et M je n'arrive pas à l'exprimer clairement, avec la méthode des produits scalaires, je ne tombe pas sur 0.
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[lapin savant]

J'ai un point de cordonnées , M étant l'extremum d'une courbe [...]
La tangente passant par M, est horizontale, d'équation .

Juste comme ça, es-tu sûr de l'équation de la tangente? Etant donné qu'elle est horizontale, je pencherais pour (M est un extremum).

[mx6]

Oui j'ai bien précisé que M est un extermum ! C'est le point correpondant au minimum de la courbe C d'équation .

A est un point n'appartenant pas à la courbe, le but de l'exercice c'est de déterminer la distance AM.

[lapin savant]

Equation de la droite (AM) :
soit un point de la droite. Alors les vecteurs et sont colinéaire, i.e. leur déterminant est nul


d'où

[A voir en vidéo sur Futura]

[lapin savant]

Oui j'ai bien précisé que M est un extermum ! C'est le point correpondant au minimum de la courbe C

Justement, si M(x0,y0), et tu dis que la tangente est horizontale, alors son équation est bien et non y=x0.

[mx6]

Je connaissais pas cette technique , merci beaucoup !

[God's Breath]

Oui j'ai bien précisé que M est un extermum ! C'est le point correpondant au minimum de la courbe C d'équation .

A est un point n'appartenant pas à la courbe, le but de l'exercice c'est de déterminer la distance AM.

C'est curieux : comme a pour coordonnées , je verrais bien de coordonnées un point de la courbe représentative de ; auquel cas la distance de à serait , le problème étant de trouver le point de le plus proche de .

[mx6]

Oui je me suis trompé! c'est bien cela ce que t'as dit God's Breath !!
J'ai confondu deux parties quand j'écrivais ^^
Tu m'étonneras toujours

[mx6]

Autre méthode: Il suffit de démontrer que la fonction f atteint son minimum en 1, mais comment ?
Pour la dérivé elle est de signe de [TEX]e^{-x}-e^{-2x}+x-1[\TEX]

[God's Breath]

Autre méthode: Il suffit de démontrer que la fonction f atteint son minimum en 1, mais comment ?

Tu confonds tout !!!

Le point est caractérisé comme réalisant le minimum de la fonction . On a donc, au point , .
Mais il se déplace sur la courbe qui représente la fonction . La tangente dont il est question est la tangente en à , dont la pente est .

[God's Breath]

Un petit dessin

[mx6]

J'attend la validation de l'image ! Car assez compliqué à comprendre

[God's Breath]

L'image est validée.

La tangente, c'est la tangente au graphe de .
La fonction dont on détermine le minimum fournit la valeur de la distance , mais sa représentation graphique (assez compliquée au demeurant) n'intervient pas géométriquement dans le problème. Sa dérivée ne sert qu'à caractériser algébriquement le point qui réalise la distance minimale.

[mx6]

Oui merci beaucoup, je comprend mieux l'énoncé, mais comment puis je démontrer que les deux droites sont perpendiculaires ??

[God's Breath]

Le point est de coordonnées et le point est de coordonnées : tu peux calculer le coefficient directeur de la droite .
La tangente en au graphe de a pour coefficient directeur .
Tu peux donc calculer le produit des coefficients directeurs.
Tu sais que le point réalise le minimum de , donc que .
En utilisant cette dernière équation, tu dois pouvoir prouver que .

[mx6]

alors si j'ai bien saisi :
Soit le coeff directeur de la droite .
Donc .

celui de la tangente à M, donc .

Mais je ne trouve pas

Oups je viens de relire ton post, je vais voir comment arranger cela, attend mon prochain post!

[mx6]

Voilà problème résolu, bel exercice quand même

Alors
De plus équivaut à

Par suite

Merci pour cet aide !

[God's Breath]

C'est ça !!