Exploitation d'un TP informatique

[invitee400579c]

Voilà j'ai une exploitation à faire mais je bloque, si vous pouviez me donnez quelques pistes de recherche, cela m'aiderait surement beaucoup.

Soient C1 et C2 les courbes d'éq respectives y1 = exp(x) et y2 = exp(-x) dans un repère orthonormal (O;i;j) du plan. Soit a un nombre réel quelconque. On désigne respectivement par M et N les points de C1 et C2 d'abscisse a et pas T1 et T2 les tangentes à C1 et C2 en M et N.
Les droites T1 et T2 coupent respectivement l'axe des abscisses en P et Q.


J'ai réalisé la figure gràce à géoplan (j'ai appelé A le point d'intersection de T1 et T2) , et émit deux conjectures que je doit ensuite démontrer :
1- T1 et T2 sont perpendiculaires
2- la longueur de [PQ] est constante, et égale à 2



Pour démontrer la première conjecture, j'ai utilisé le fait que T1 a pour coef directeur exp(x) et T2 a pour coef directeur -exp(-x) .
Or : exp(x) * -exp(-x) = - exp(x) / exp(x) = -1
donc T1 et T2 sont perpendiculaires.
Je crois qu'il s'agit d'une "astuce"... Comment devrais-je faire si je voulais le faire de manière "classique" ?

Par contre, pour la deuxième conjecture, j'ai beaucoup plus de difficulté. J'ai écris diverses égalités, pythagore, cosinus, sinus dans le triandle rectangle PQA, mais ça ne me mène à rien.

Merci pour votre aidre
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[ALEX15000]

On écris donc les deux équation de nos deux tagentes au point d'absisse a:
T1 : y=f'(a)(x-a)+f(a) = e^a(x-a) + e^a
T2 : y=f'(a)(x-a)+f(a) = -e^-a(x-a) + e^-a
Comme tu l'as dit deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coefficient directeur est -1. Ici (e[EXP]a) * (-e[EXP]-a) = -1.
Donc c'est bon elles sont perpendiculaires. (Fais attention dasn ta démonstration tu utilise x, ca porte a confusion; le coefficient directeur est une valeur (f(a)) pas l'expression d'une fonction).

2)Tu as maintenant l'équation de tes 2 tangentes. Or le point P correspond au point où T1 coupe l'axe des absisse donc il te suffit de trouver l'absicce de ce point. De même pour Q...

[invitee400579c]

Oui, j'ai rédigé assez vite, mais c'est vrai que je dois faire plus attention.

Sinon merci beaucoup pour la deuxième partie, je pense pouvoir m'en sortir maintenant .