[TS++] Etude de la fonction x^x

**mx6** · 17/02/2009, 20h31

Bonsoir,
Ce n'est pas pour un DM, ou un exercice. Je voudrais étudier la fonction suivante : $\text{[math]}$ car je la trouve bizarre.
En effet, si je la trace dans ma calculatrice, bah elle est définie en R+, mais dans R-, on peut voir quelque point (discontinuité) puis plus rien.
De plus je ne sais pas la dériver ! d'après ma calculatrice: $\text{[math]}$ Je voudrais savoir comment aboutir à ce résultat !
Pour résumer :
Comment dériver ? Pourquoi la fonction représente une discontinuité en R- ? Car $\text{[math]}$ existe sauf preuve de contraire.....

**VegeTal** · 17/02/2009, 20h33

Salut,

$\text{[math]}$

la suite s'en suit ; pour les réels négatifs on m'avait répondu que c'était du logarithme complexe

**mx6** · 17/02/2009, 20h36

Certes, mais pourquoi poser cette égalité ? Ca restreint notre domaine de définition, ce qui est inutile, à mon avis.
Pour la dérivé, ca marche.

invitec053041c · 17/02/2009, 20h48

Je pense qu'on ne te demande pas de regarder du côté de IR-, car a^b est à manipuler avec beaucoup de précautions pour a<0.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**VegeTal** · 17/02/2009, 20h56

Comme promis, jette un coup d'œil ici :

http://forums.futura-sciences.com/ma...nentielle.html

**mx6** · 17/02/2009, 21h41

Waw magnifique les logarithmes avec les complexes, j'ai vraiment adoré !

Sinon, ca ne répond toujours pas à ma question, pourquoi la calculatrice bloque ? Pourquoi elle ne trace pas dans IR- ?? La fonction doit être continu normalemant, on est bien d'accord, si vous me fixer un intervalle, je pourrais tracer tout la fonction, d'unz manière plus au moins quantitative.

PS: Contrairement à ta calculatrice Vegetal, la mienne peut calculer des exposant négatif pour des nombres négatifs même pas entiers ! J'ai une Ti89-Titanium. (Pour la pub =) )

**lapin savant** · 17/02/2009, 22h06

Salut,

Envoyé par mx6

Sinon, ca ne répond toujours pas à ma question, pourquoi la calculatrice bloque ? Pourquoi elle ne trace pas dans IR- ??

Et si, le post de Vegetal doit répondre à ta question...
$\text{[math]}$

avec
$\text{[math]}$

Lorsque tu prends la restriction du (vrai, soit dit en passant) logarithme au logarithme sur R (aussi connu sous le nom de logarithme naturel, ou népérien), il faut faire une coupure dans le plan C (à cause de la partie imaginaire du log complexe, définie à 2kPi près).
Et cette coupure, il se trouve que c'est R-....

Envoyé par mx6

La fonction doit être continu normalemant, on est bien d'accord, si vous me fixer un intervalle, je pourrais tracer tout la fonction, d'unz manière plus au moins quantitative.

Pas de chance, ce n'est pas le cas ici...cf analyse complexe.

**mx6** · 17/02/2009, 22h12

Oui j'ai compri cela lapant savant, donc notre calculatrice a une réfèrence qui est l'exponentielle et le ln, qui les utilise avant de tracer une fonction à base différente ?

**lapin savant** · 17/02/2009, 22h14

Mea culpa, il fallait lire

Envoyé par lapin savant

$\text{[math]}$

Lorsque tu prends la restriction du (vrai, soit dit en passant) logarithme au logarithme sur R (aussi connu sous le nom de logarithme naturel, ou népérien), il faut faire une coupure dans le plan C (à cause de l'argument du log complexe, défini à 2kPi près).
Et cette coupure, il se trouve que c'est R-....

Et encore, c'est toujours pas assez rigoureux, c'est dire la difficulté à définir le log sur C...
Milles excuses.

invitec053041c · 17/02/2009, 22h14

Envoyé par mx6

question, pourquoi la calculatrice bloque ? Pourquoi elle ne trace pas dans IR- ?

Demande donc à ta TI de tracer la fonction x-> ix où i est le i complexe

. Il m'étonnerait qu'elle soit coopérative pour le coup, d'où son incapacité à tracer correctement x->x^x pour x<0.

Rigoureusement, elle devrait mettre des points pour x=n (n entier négatif), là où ta fonction est à valeur dans IR et ne rien mettre ailleurs, car l'ailleurs correspond à des complexes.

Seulement, la TI va considérer que z=a+ib est réel pour b assez petit (une petite dizaine de décimales après la virgule), et donc considérer que z=a; c'est pourquoi elle va te tracer des petits "bouts" de courbe autour d'un entier, bien que le nombre à tracer en réalité est complexe (mais à partie imaginaire négligeable pour la machine).

**lapin savant** · 17/02/2009, 22h26

Avant que quelqu'un me le reproche.....de par la détermination principale choisie pour le log complexe :

Envoyé par lapin savant

$\text{[math]}$

Et non sur C tout entier (c'est le point névralgique du problème).

**VegeTal** · 17/02/2009, 22h28

Il se passe quoi en $\text{[math]}$ ?

quelqu'un est chaud pour un condensé d'analyse complexe pour élèves de Term S ?

**mx6** · 17/02/2009, 22h31

Oui, elle n'arrive pas à tracer ix.
J'ai compris je crois, le défaut vient de la programmation de la calculatrice.
Sinon connais tu un logiciel qui permet de traçer les graphes sans ambiguités ?

Vegetal je ne crois pas, c'est niveau Licence quand même !

**lapin savant** · 17/02/2009, 22h33

Envoyé par VegeTal

Il se passe quoi en $\text{[math]}$ ?

quelqu'un est chaud pour un condensé d'analyse complexe pour élèves de Term S ?

Moi je me sens pas, ça date de 2 ans (plus tout frais...) et vu les âneries que je commence à raconter.

**lapin savant** · 17/02/2009, 22h34

Envoyé par mx6

Sinon connais tu un logiciel qui permet de traçer les graphes sans ambiguités ?

oui et non....matlab peut-être

invitec053041c · 17/02/2009, 22h41

Envoyé par mx6

Oui, elle n'arrive pas à tracer ix.

C'est normal, il faut un graphe en 3D pour représenter x->ix.

**VegeTal** · 17/02/2009, 22h41

Bon, on vérifie facilement qu'en $\text{[math]}$ ça donne des stupidités

**VegeTal** · 17/02/2009, 22h43

Envoyé par Ledescat

C'est normal, il faut un graphe en 3D pour représenter x->ix.

Je confirme graphe 3D ça marche et ça donne des trucs bizarre !

P.S : mx6, moi j'ai une classpad330+ casio no matters

**mx6** · 17/02/2009, 22h53

Sur Maple 9.5, je viens de essayer sur IR-, cela ne marche pas aussi !

!
Je ne sais pas utiliser 3D, vu que je débute sur Maple !

Je dois aller au lit, à demain !

**Seirios** · 18/02/2009, 08h37

Envoyé par VegeTal

Il se passe quoi en $\text{[math]}$ ?

J'avais lu quelques documents sur l'analyse complexe il y a quelques temps ; je n'ai pas vraiment approfondi (pas encore

), mais il me semble que l'on ne définit pas le logarithme complexe sur $\text{[math]}$ , non parce qu'elle n'est pas définit sur cet ensemble, mais pour que la fonction aie une propriété particulière, pour qu'elle soit holomorphe il me semble.

**Seirios** · 18/02/2009, 08h45

Apparemment, une autre propriété de $\text{[math]}$ , c'est-à-dire l'ensemble de définition du logarithme complexe, serait d'être connexe, ce qui impliquerait que le logarithme complexe serait la seule primitive de la fonction inverse s'annulant en 1.

**mx6** · 18/02/2009, 15h13

Désolé Phys2, je n'ai pas compris ton post, j'ai pas encore la maturité mathématique pour cela

Sinon, je viens de voir que la fonction $\text{[math]}$ est plus terrible en R- !

**lapin savant** · 18/02/2009, 15h40

Envoyé par Phys2

mais il me semble que l'on ne définit pas le logarithme complexe sur $\text{[math]}$ , non parce qu'elle n'est pas définit sur cet ensemble, mais pour que la fonction aie une propriété particulière, pour qu'elle soit holomorphe il me semble.

Justement, c'est pour pouvoir le définir correctement qu'on lui impose l'holomorphie : un théorème énonce que "Sur un ouvert connexe, contenant une courbe d'indice 1 autour de l'origine, il n'existe pas de détermination continue du logarithme".
Cela pose notamment problème pour la définition de son argument (discontinuités de $\text{[math]}$ ).

Lui imposer la propriété d'holomorphie, plus forte que la dérivabilité usuelle, implique que l'on cherche une fonction logarithme analytique, càd décomposable en série de Taylor, car on ne peut pas, à cause de ce théorème, prolonger analytiquement le log naturel sur tout C*.

La coupure de R-* permet de s'affranchir de l'incertitude de $\text{[math]}$ qui reste sur l'argument du log, afin d'en définir une détermination principale.

invitec053041c · 18/02/2009, 15h41

Envoyé par mx6

Désolé Phys2, je n'ai pas compris ton post, j'ai pas encore la maturité mathématique pour cela

Sinon, je viens de voir que la fonction $\text{[math]}$ est plus terrible en R- !

Ce qu'a voulu dire phys2 se situe à la rubrique "le log complexe est-il une fonction ?" de http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

**mx6** · 18/02/2009, 18h17

Ledescat,
Si j'ai bien saisi, on a $\text{[math]}$ dans ton post tu dis que si b est petit alors z=a=réel, or la on a ib=iPi=constante ! alors comment expliquer les petits points ??

invitec053041c · 18/02/2009, 20h31

Envoyé par mx6

Ledescat,
Si j'ai bien saisi, on a $\text{[math]}$ dans ton post tu dis que si b est petit alors z=a=réel, or la on a ib=iPi=constante ! alors comment expliquer les petits points ??

Tu as raison, ici c'est surtout à cause de la définition du logarithme complexe (et de la coupure qu'on y fait sur IR-) que ça bug.

**mx6** · 18/02/2009, 20h41

Je comprend pas grand chose, je vais laisser tomber je crois, il faut avouer que c'est loin d'être accessible pour un élève avec des connaissances de terminal.

**lapin savant** · 19/02/2009, 09h17

Juste pour éviter toute confusion :

Envoyé par mx6

Si j'ai bien saisi, on a $\text{[math]}$

c'est pas grand chose, mais le logarithme complexe , on préfère l'appeler log (ou Log) (pour ne pas confondre avec celui sur R, ln).

**Layton Jr** · 26/12/2019, 15h39

Bonjour, pour répondre à la question j'utilise la définition de la puissance : a^0.5 = V^-(a), a^1/3 = racine cubique de a, et a^-n = 1/(aⁿ). Pour -1/2 : -0.5^-0.5 = 1/V^-(-0.5) or la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un réel. La fonction x^x n'est donc pas définie sur |R^- pour toutes les valeurs de x.

**JPL** · 26/12/2019, 16h28

Merci de répondre à une discussion qui a plus de 10 ans

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