Multiplication i x i dans les complexes

Jack Burner · 02/03/2009 - 19h48

Bonjour à tous, j'ai une petite question à vous poser au sujet des nombres complexes.
J'ai toujours interprété la multiplication comme le nombre de fois qu'un nombre doit être additionné à lui-même ; par exemple : 3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6
Mais lorsque l'on arrive aux nombres complexes j'ai du mal à appliquer ce principe avec le calcul qui suit : i x i = i + i + i + i + ... + i = -1.

Ou bien peut être que finalement cela n'est juste qu'un artifice de calcul n'ayant rien à voir avec le principe que j'utilise pour les l'ensemble IR.

Merci par avance

Fabien

God's Breath · 02/03/2009 - 19h52

La multiplication par i s'interprète comme une rotation d'angle droit dans le plan.

lapin savant · 02/03/2009 - 20h12

Salut,
comme te le dit God's Breath, la multiplication par $i$ s'interprète géométriquement par une rotation d'angle pi/2 (compose 2 fois et tu obtiens bien une rotation à 180 degrés, soit un changement de signe).

Mais attention !!

Envoyé par Jack Burner

J'ai toujours interprété la multiplication comme le nombre de fois qu'un nombre doit être additionné à lui-même

Ceci n'est plus vrai dans $\mathbb{C}$ !
Les quantités que tu manipules sont des couples de réels : leur interprétation a priori n'est plus le dénombrement mais la transformation du plan (ouh, c'est vraiment dit avec les mains...

).

Envoyé par Jack Burner

Mais lorsque l'on arrive aux nombres complexes j'ai du mal à appliquer ce principe avec le calcul qui suit : i x i = i + i + i + i + ... + i = -1.

Du coup cette représentation tombe à l'eau !
Il faut la voir comme :
$i \times i = (0,1) \times (0,1) = (0\times 0 - 1 \times 1,0\times 1 - 1 \times 0) = (-1,0) = -1$

où l'on a défini une bonne multiplication pour les doublets.

kaiswalayla · 03/03/2009 - 03h02

(Remarque: dans $\mathbb{R}$ , on a toujours considéré qu'un carré est positif, ce n'est plus le cas forcément dans $\mathbb{C}$ ...)

Bonjour,

ton interprétation de la multiplication reste valide tant que le produit obtenu par multiplication est le résultat d'un dénombrement d'un même nombre répété dans une somme, quel que soit la nature de ce nombre d'ailleurs !

Ainsi: $i+i+i+i$ est égal à $4i$ même si $i$ est complexe non réel;

$3,14+3,14+3,14$ égale $3\times3,14$

Ce n'est plus vrai dès qu'on sort de ce type de configuration. Ainsi, même dans $\mathbb{R}$ l'écriture:

$3,2\times 2,7$

ne peut être l'interprétation d'un nombre qu'on additionne plusieurs fois.

On pourra dire mais c'est 3 fois le nombre 2,7 et 2 fois son dixième. On rétorque qu'ici on ne compte pas la même chose ou prendre un exemple plus convainquant $\pi\times e$ tout en restant dans $\mathbb{R}$ .

kaiswalayla · 03/03/2009 - 03h33

Mais lorsque l'on arrive aux nombres complexes j'ai du mal à appliquer ce principe avec le calcul qui suit : i x i = i + i + i + i + ... + i = -1.

On propose parfois la situation analogue suivante:

$\text{quel que soit}\quad x \neq 0:\qquad \underbrace{x+x+\cdots+x}_{x\, \text{ fois}}= x\times x$

On dérive les deux fonctions:

$\underbrace{1+1+\cdots+1}_{x\, \text{ fois}}=2x$

$x=2x$ pour tout réel $x \neq 0$ . On simplifie donc et on trouve: $1=2$ .

invité576543 · 03/03/2009 - 05h46

Envoyé par kaiswalayla

On dérive les deux fonctions:

Dans la dérivation du terme de gauche, le "x" qui est sous l'accolade doit aussi être "dérivé", ce qui donne en plus "x+x...+x" 1 fois, c'est à dire x, d'où comme dérivée au total x+x, soit 2x.

Cordialement,

kaiswalayla · 04/03/2009 - 07h33

Bonjour,

tu veux dire que la dérivée de $(\underbrace{x+x+\cdots+x}_{x \text{fois}})$ est

$(\underbrace{x+\cdots+x}_{x\, \text{fois}})'=(\underbrace{x' +x'+\cdots+x'}_{x\, \text{fois}})+(\underbrace{x+x +\cdots+x}_{x'\, \text{fois}})=(\underbrace{1+1 +\cdots+1}_{x\, \text{fois}})+(\underbrace{x+x +\cdots+x}_{1\, \text{fois}})=x\times 1+1\times x=x+x=2x$

à l'image de la formule classique de dérivation:

$(UV)'=(\underbrace{V+V+\cdots+ V}_{U\, \text{fois}})'=(\underbrace{V' +V'+\cdots+V'}_{U\, \text{fois}})+(\underbrace{V+V +\cdots+V}_{U'\, \text{fois}})=U\times V'+U'\times V=U'V+UV'$

mais là tu m'as coupé l'herbe sous le pied puisque le sens de ma dernière intervention (et je crois que tu l'as compris) est de dire à Jack Burner que:

$\underbrace{y+y+\cdots+y}_{x \text{fois}}$

a le sens $x \times y$ seulement si x est un entier naturel, que ça n'a pas de sens pour un nombre x non entier et que ça peut "induire" à des contradictions telles que celles que j'ai citées.

Cela dit, c'est bien vu!

invité576543 · 04/03/2009 - 16h08

Envoyé par kaiswalayla

tu veux dire (...)

Oui.

mais là tu m'as coupé l'herbe sous le pied puisque le sens de ma dernière intervention (et je crois que tu l'as compris) est de dire à Jack Burner que:

$\underbrace{y+y+\cdots+y}_{x \text{fois}}$

a le sens $x \times y$ seulement si x est un entier naturel, que ça n'a pas de sens pour un nombre x non entier

Je suis d'accord sur le fond avec ce que tu dis, en fait.

et que ça peut "induire" à des contradictions telles que celles que j'ai citées.

Des contradictions, oui. Mais pas celle-la; je voulais juste montrer qu'on pouvais "jouer" avec cette écriture et retrouver le bon résultat

.

Mais c'est jouer avec le feu, bien d'accord!

Cordialement,

kaiswalayla · 04/03/2009 - 23h18

On est d'accord,

j'avais bien compris que tu taquinais, à bon escient, en surenchérissant ma boutade sur laquelle j'attirais l'attention de l'élève qui avait posé la question au départ.

En tout cas merci.