[T.S ]Probabilité discrètes

invite6545323456 · 26/03/2009 - 18h24

Bonsoir à tous, alors voila un dm que j'ai à rendre malheuresement pour demain, et j'bloque totalement à partir du 2).

Je poste le sujet en pièce jointe et mes réponses ci dessous:

a) -> Loi binomiale
b) paramètes : n = 24 ; p = 5/12
c) p ( X=12) = 0.115 ( environ )
d) Epreuve de Bernoulli donc : P ( x = 1 ) p = 5/12
e) p ( X =2) = 2* p = 0.83 ( je n'suis pas sur )
Non, elle n'est pas assez faible pour être négligeable.

A partir de là, j'bloque jusqu'à la fin.

Merci d'avance de votre aide.

lapin savant · 26/03/2009 - 20h09

Salut,

Envoyé par Opxsl

e) p ( X =2) = 2* p = 0.83 ( je n'suis pas sur )

a, b, c, d ok.
e faux : le modèle est toujours une épreuve de Bernoulli, sauf que tu cherches à trouver la proba de succès de 2 épreuves indépendantes, donc P(2 feuilles) = p².

Pour la 2, il s'agit simplement d'un changement de la valeur du paramètre n de la loi binômiale : tu passes de n=24 à n=86400, et chaque épreuve est réalisée (ou non) sur 1s.
Donc en gros, mêmes raisonnements avec des applications numériques différentes.

invite6545323456 · 26/03/2009 - 21h06

Ok, donc pour la 2)a) j'trouve p = 1.16*10^-4 et n = 86400

b) --> 0.095 en appliquant la loi binomiale
c) j'ai pensé à la probabilité que deux feuilles tombent à la même seconde soit : (1/8640)²

Mais l'énoncé nous demande la probabilité que deux feuilles ne tombent pas à la même seconde.

pour le 3) a c'est une généralité en au lieu d'avoir 86400 ou 24 intervalles on a N et espérance = lambda.

Mais j'vois pas qu'est ce qu'il nous demande.

lapin savant · 26/03/2009 - 22h19

Envoyé par Opxsl

c) j'ai pensé à la probabilité que deux feuilles tombent à la même seconde soit : (1/8640)²
Mais l'énoncé nous demande la probabilité que deux feuilles ne tombent pas à la même seconde.

Il s'agit seulement de l'événement contraire ! (la somme de leurs probabilités vaut 1).

3) a) ben il faut calculer la probabilité que k feuilles tombent durant l'intervalle de temps N : P(X=k). Il suffit d'écrire la loi binômiale (car tu as trouvé qu'il s'agissait d'une telle loi) de paramètres N et p=?

b) Factorise P(X=k) par $\left( 1- \frac{\lambda}{N} \right)^N$
pour obtenir la forme demandée, et tu pourras identifier Q(N) ( et calculer sa limite).

c) Facile : pense au taux d'accroissement (tu dois trouver 1 comme limite, car ln'(1)=1)

d) regarde $h = - \frac{\lambda}{N}$

e) tu devrais aboutir à une loi de poisson

invite6545323456 · 26/03/2009 - 22h28

Ok.

2)
c) tu trouves combien et comment? Parce que j'bloque.

3)

a) Pour cette question, j'écris simplement :
la loi de X est binomiale de paramètres: N et $\frac{\lambda}<br /> {N}$ . D'où le resultat demandé. ?

b) $Q(N)=C^N_k(\frac{\lambda}{N})^ k(1-\frac{\lambda}{N})^{-k}$ , il faut montrer que $lim_{N\infty}Q(n)=\frac{\lambd a^k}{k!}$ , mais je sais pa comment

c) Quand j'fais à la calculatrice Ln'(1) c'ets égale à 0 c'est normal ?

d) On a: $lim_{N\infty}(1-\frac{\lambda}{N})^{N}=lim_{N\ infty} exp(Nln(1-\frac{\lambda}{N}))=lim_{N\inf ty}exp(\lambda\frac{ln(1-\frac{\lambda}{N})-ln(1)}{\frac{\lambda}{N}})$ , alors si on choisit $h=\frac{\lambda}{N}$ on a bien: $lim_{N\infty}(1-\frac{\lambda}{N})^{N}=exp(\la mbda).$

lapin savant · 27/03/2009 - 08h18

2)
c) 1-(1/8640)² (événement contraire de "2 feuilles tombent")

Envoyé par Opxsl

3)
a) Pour cette question, j'écris simplement :
la loi de X est binomiale de paramètres: N et $\frac{\lambda}<br /> {N}$ . D'où le resultat demandé. ?

Oui. (tu peux développer un peu l'explication si tu veux, par exemple réexpliquer correctement pourquoi il s'agit d'une loi binômiale).

Envoyé par Opxsl

b) $Q(N)=C^N_k(\frac{\lambda}{N})^ k(1-\frac{\lambda}{N})^{-k}$ , il faut montrer que $lim_{N\infty}Q(n)=\frac{\lambd a^k}{k!}$ , mais je sais pa comment

$Q(N)=\frac{N!}{k! (N-k)!} (\frac{\lambda}{N})^k(1-\frac{\lambda}{N})^{-k} = \frac{\lambda^k}{k!} \frac{N!}{N^k (N-k)!} (1-\frac{\lambda}{N})^{-k}$

et il faut se débrouiller pour montrer que les trucs en N tendent vers 1.

Envoyé par Opxsl

c) Quand j'fais à la calculatrice Ln'(1) c'ets égale à 0 c'est normal ?

Tu te trompes : ln(1)=0 mais sa dérivée ln ' (1)=1 (1/x évalué en 1...)

Envoyé par Opxsl

d) On a: $lim_{N\infty}(1-\frac{\lambda}{N})^{N}=lim_{N\ infty} exp(Nln(1-\frac{\lambda}{N}))=lim_{N\inf ty}exp(\lambda\frac{ln(1-\frac{\lambda}{N})-ln(1)}{\frac{\lambda}{N}})$ , alors si on choisit $h=\frac{\lambda}{N}$ on a bien: $lim_{N\infty}(1-\frac{\lambda}{N})^{N}=exp(\la mbda).$

Les idées sont là mais à un endroit la rédaction est pas terrible (d'où sors-tu h ?) :
comme
$\lim_{h \to 0}\frac{\ln(1+h) - \ln 1}{h}=0$ , alors en prenant $h = \frac{- \lambda}{N}$ , cela donne
$\lim_{N \to +\infty}\ln \left(1- \frac{\lambda}{N} \right)^{\frac{-N}{\lambda}}=1$ , soit
$\lim_{N \to +\infty} \left(1- \frac{\lambda}{N} \right)^{\frac{-N}{\lambda}}=e$
et en élevant à la puissance $- \lambda$ :
$\lim_{N \to +\infty} \left(1- \frac{\lambda}{N} \right)^N=e^{-\lambda}$