Existence d'une intégrale

tjou · 12/04/2009 - 12h18

Bonjour,

Quand est-ce qu'une fonction est intégrable sur un intervalle du type [a;b] avec a et b réels ?

Car j'ai lu :

-"Si f est dérivable sur [a;b]"

-"Si f est continue sur [a;b]"

Qu'en est-il vraiment ?

Petite parenthèse : je me demande du coup, sur des intervalles du type $[a;+\infty[$ ou $]-\infty;+\infty[$ faut-il utiliser les mêmes critères ou y'a-t-il d'autres pré-requis ?

D'ailleurs peut-on intégrer sur $]-\infty;+\infty[$ ?

J'ai du mal à "voir".

Thorin · 12/04/2009 - 12h30

Toute fonction continue sur un intervalle [a,b] est intégrable sur cet intervalle.

Et comme toute fonction dérivable est continue, si une fonction est dérivable sur [a,b], elle est intégrable sur [a,b].

sur [a,+l'infini[, il faut s'assurer que, pour f fonction positive, $\int_a^b f(x)dx$ atteigne une limite finie quand b tend vers l'infini, pour qu'elle soit intégrable sur cet intervalle.

tjou · 12/04/2009 - 13h32

Merci Thorin.

Du coup, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle ?

Merci.

mx6 · 12/04/2009 - 13h53

Effectivement, en TS, cette définition suffit, tout fonction continue dans un intervalle I, admet une integrale dans cet intervalle. Et en même c'est logique, si elle est continue, ca veut dire qu'il y a une aire délimitée par la courbe et l'axe Ox.

mimo13 · 12/04/2009 - 15h09

Envoyé par tjou

Merci Thorin.

Du coup, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle ?

Merci.

Oui cette définition est toujours vrai facile a voir vu ce qu'a mx6 mais dire que toute fonction qui admet un primitive sur un intervalle I est continue sur cette intervalle(c'est à dire la réciproque) est totalement fausse.

Thorin · 12/04/2009 - 17h30

Du coup, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle ?

Attention a la distinction segment et intervalle : un segment est un intervalle de la forme [a,b].
Mais ceci dit, c'est vrai, toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

tout fonction continue dans un intervalle I, admet une integrale dans cet intervalle. Et en même c'est logique, si elle est continue, ca veut dire qu'il y a une aire délimitée par la courbe et l'axe Ox.

ceci est en revanche faux sur un intervalle quelconque :

de manière très visible, l'exponentielle n'admet pas une aire finie sous sa courbe sur l'intervalle [0, +l'infini [
de manière un peu moins visible, la fonction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ n'admet pas une aire finie sur l'intervalle $[1, + \infty [$ , mais admet cependant une aire finie sur $]0,1]$
, alors que la fonction $\frac{1}{x^2}$ n'admet pas une aire finie sur l'intervalle $]0,1]$ , mais admet cependant une aire finie sur $[1, + \infty [$ ...