ensemble de définition d'une suite

[invite6f67dbc5]

Bonjour à tous, voilà l'exercice qui me pose problème:

f(x)= (4x-2)/(x+1)
On demande les variations, f(x) est croissante, pas de soucis pour cette question.

C'est après que ça ce complique:
Soit (Un) la suite définie par U(0)=3 et U(n+1)=(4Un-2)/(U(n)+1)

1)démontrer que U(n) définie sur IN, donc que U(n) différent de -1.
Il faut s'aider des variations de f(x) et prouver que (Un) est bornée.
2)étudier les variations de (Un).

Je bloque dès la première question, et j'aimerais bien un peu d'aide!!! Je dois répondre à cette question avec le raisonnement par récurrence, mais si quelqu'un à une autre méthode je suis également preneur.
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[invite6e71eaf9]

Sachant que la fonction associée est croissante, tu dois prouver que pour tout Un>U0 c'est-à-dire pour tout Un>3 ,n appartient à N...

[invite6f67dbc5]

J'ai déjà fait ce raisonnement, mais f(x) n'est pas la fonction associée, car U(n+1) est exprimé en fonction de Un et non pas de n...

[invite6e71eaf9]

si tu poses Un+1=f(x) et Un=x tu as ta fonction. Tu sais que f est croissante donc Un+1 >Un. Par conséquent Un est croissante et U0 = 3
donc Un > 3 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f67dbc5]

le problème, c'est que la suite est décroissante...

[invite6e71eaf9]

Ah vraiment dsl j'ai pas bien regardé ta fonction!
Tu as Un+1=f(Un)
f est croissante. trace y=x et on voit effectivement que Un décroît.
personnellement je prouverais que pour x>=2 x>=f(x) et j en déduirais la variation de Un

[invite6f67dbc5]

pas grave ça arrive à tout le monde!!!
ça règle le problème de la variation, donc Un décroissante, donc
Un<U0
Un<3
donc on peut avoir Un=-1
Je me trompe?

[invite6e71eaf9]

Un admet une limite en +infini : 2
donc 2<Un<3

[invite6f67dbc5]

merci beaucoup pour l'aide!

[Thorin]

tu peux montrer qu'elle est décroissante en procédant par récurrence.

l'hérédité se fait ainsi :
au rang n-1 on sait que U{n-1}>Un
comme f est croissante, on appliquer f à l'inégalité sans changer le sens, et on a bien U_n>U_{n+1}.

lorsqu'on définit une suite de ce genre, si la fonction est croissante, le sens de variation de la suite dépend uniquement de si U1>U0 ou U1<U0.

[invite6f67dbc5]

ton raisonnement part de:
au rang n-1 on sait que U{n-1}>Un
Or on ne le sait pas puisqu'on veut le prouver...