Limite d'une suite arithmético-géométrique

Raul13 · 28/04/2009 - 12h06

Salut à tous,

J'ai un exercice à faire sur feuille pour la rentrée : le n°51.

J'ai réussi les premières questions mais je bloque à la question 2) b).
Ils disent de s'inspirer de la méthode de l'exercice précédent.
Donc j'en déduis qu'il faut que je cherche a tel que la suite vn = un - a soit géométrique.

Dans l'exercice précédent (le 50 donc), la suite convergeait vers a et on faisait 3/5x +1 = x pour trouver a car a était l'intersection de la droite y=x et de y=3/5x + 1.

Mais là, j'ai regardé les premiers termes de la suite, et la suite tend vers +l'infini j'ai l'impression (pouvez-vous confirmer)? Alors comment trouver a?

Je vous remercie d'avance.

Mademoiselle D · 28/04/2009 - 16h18

Bonjour, pourquoi ne pas calculer Vo et trouver ensuite Vn grâce à la relation de récurrence ?

Raul13 · 28/04/2009 - 16h47

Je ne peux pas car je n'ai pas un.
Mais l'énoncé indique qu'il faut se servir de la méthode exposée l'exercice d'avant donc en trouvant a.

Merci.

cleanmen · 28/04/2009 - 18h53

tu veux résoudre $v_n_+_1=\frac{-1}{4}v_n+\frac{1}{4}$ .

Le protocol est le suivant:
D'abord résoudre l'équation
$$ x=\frac{-1}{4}x+\frac{1}{4} $ $
où x est l'inconnue.
Ce x, solution de l'équation te donne une suite constante solution que nous appellerons b et telle que pour tout n de N:
$b_n=x$

Ce qui est génant dans ta suite (v) définit par récurrence c'est le 1/4 car sinon on voit tout de suite que v est une suite géométrique.
Pour l'éliminer (et c'est le second point du protocol) on définie la suite w telle que pour tout n: $w_n=v_n - b_n$
Et o miracle on trouve que (w) est géométrique...

Je te laisse reflechir sur la suite!

Raul13 · 29/04/2009 - 11h49

Merci beaucoup, c'était pas si compliqué, j'avais fait une confusion que j'ai compris, merci beaucoup.

Pour la question 3), je bloque.

J'ai pensé à me servir de la relation :
un = un+1 - vn ? Mais j'ai essayé sans succès.

Je pense qu'il faut faire une somme de termes avec comme terme initial vn-1 mais je ne sais pas combien il y a de termes dans cette somme..

En fait je n'ai pas trop compris d'où vient la relation.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer?

Merci

cleanmen · 29/04/2009 - 16h56

Pour la suite,
on a :
$v_{n+1}=\frac{-1}{4}v_n+\frac{1}{4}$
et
$b_{n+1}=\frac{-1}{4}b_n+\frac{1}{4}$
En soustrayant, il vient:
$v_{n+1}-b_{n+1}=\frac{-1}{4}(v_n-b_n)$

On reconnait une suite géométrique et on connait le terme général d'une telle suite:
$(v-b)_n=(v_0-b_0)(\frac{-1}{4})^n$

Finalement
$v_n=(v_0-b_0)(\frac{-1}{4})^n+b_n$
$v_n=(v_0-b_0)(\frac{-1}{4})^n+\frac{1}{5}$

Raul13 · 29/04/2009 - 20h27

Merci, ta méthode marche mais j'aimerai être en accord avec celle de l'exercice.

Quelqu'un pourrait-il répondre à mes questions ci-dessus,

Merci

cleanmen · 29/04/2009 - 21h41

et bien pour la question 3, on a tout fait. En effet, on vient de trouver le terme général de la suite (v).
Ya plus qu'a trouver la somme des n premiers termes de (v).
$\sum_{i=0}^{n-1}v_n=\frac{n}{5}+(v_0+1/4)\sum_{i=0}^{n}(\frac{-1}{4})^i$

Et après tu déroules...

Raul13 · 01/05/2009 - 00h07

J'ai bien compris la méthode pour trouver le terme général de vn.

Mais je n'ai pas du tout compris ta réponse pour la question 3.

En fait, au départ :
un = vn-1 + vn-2 + u0 + v0 Je n'arrive pas à comprendre pourquoi, c'est pas faute d'avoir cherché

Ensuite, je vois que tu fais la somme mais je ne vois pas de quelle façon, peux-tu détailler car j'ai du mal à louper des étapes^^

Merci encore
@+

cleanmen · 01/05/2009 - 11h35

Il faut voir la chose suivante pour la question 3:
$v_{n-1}=u_n-u_{n-1} \\ v_{n-2}=u_{n-1}-u_{n-2} \\ v_{n-3}=u_{n-2}-u_{n-3} \\ ... \\ v_1=u_2-u_1 \\ v_0=u_1-u_0$
En sommant, comme les termes s'annulent, il reste:
$v_{n-1}+v_{n-2}+v_{n-3}+...+v_1+v_0=u_n-u_0$
et donc le résultat.

cleanmen · 01/05/2009 - 11h45

On se sert des propriétés de la somme:
$\sum_{i=0}^{n-1}v_n=\sum_{i=0}^{n-1}((v_0-b_0)(\frac{-1}{4})^n+\frac{1}{5}) \\ \sum_{i=0}^{n-1}v_n=\sum_{i=0}^{n-1}(v_0-b_0)(\frac{-1}{4})^n+\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{5}$
Comme $v_0-b_0$ est une constante (elle ne dépend pas de n) tu peux la sortir de la somme:
$\sum_{i=0}^{n-1}v_n=(v_0-b_0)\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{-1}{4})^n+\frac{n}{5}$
Je te laisse développer la somme de la suite géométrique. Ca ne devrais pas te poser trop de pb.

cleanmen · 01/05/2009 - 12h29

aïe aï aïe, j'ai confondu les i et les n...

Je recommence:

On se sert des propriétés de la somme:
$\sum_{i=0}^{n-1}v_i=\sum_{i=0}^{n-1}((v_0-b_0)(\frac{-1}{4})^i+\frac{1}{5}) \\ \sum_{i=0}^{n-1}v_i=\sum_{i=0}^{n-1}(v_0-b_0)(\frac{-1}{4})^i+\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{5}$
Comme $v_0-b_0$ est une constante (elle ne dépend pas de i) tu peux la sortir de la somme:
$\sum_{i=0}^{n-1}v_i=(v_0-b_0)\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{-1}{4})^i+\frac{n}{5}$
Je te laisse développer la somme de la suite géométrique. Ca ne devrais pas te poser trop de pb!

Dsl, je ne peux supprimer mon dernier message, (peut-etre que seul le modo le peut...)