[Arithmétique]Solution dans Z*Z

[invitebcc0ecea]

salut,
Svp aider moi a résoudre cette exercice D'Arithmétiques;
j'ai verifié que (X,y) est solution de (E):11x-5y=2 Si et seulement Si 11(x-2)=5(y-4) alors il m'a demandé de deduire les solution de (E);
le question Suivant
On Pose
a=5n+2
b=7n+5
Calculer 7a-5b puis deduire que PGCD(a,b)=1 ou PGCD(a,b)=11
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[invitec317278e]

le 1) se fait en cherchant sur internet "équation diophatienne"

pour le 2), on a :
7a-5b=14-25=-11

soit d le pgcd de a et de b, alors, d divise a et d divise b donc d divise 7a-5b
or, 7a-5b=-11
donc d divise 11.
donc d=11 ou d=1, car ce sont les seuls diviseurs de 11.