Limite d'une fonction en un réel Xo

[invite48d8a2e3]

Bonsoir, J'ai un peu de mal à faire mon exercice:
Voici l'énoncé:

Soit n un entier supérieur ou égal à 1, et la fonction f définie sur privé [0;1] par :
F(x)=1/xⁿ(1/(1-x)-(1+x+x2+x3+...+xⁿ)).

1. Etudier la limite de F à gauche et à droite de 1; en déduire l'existence d'une asymptote verticale à sa courbe représentive.

Donc pour cette question j'ai étudier les limites de la fonction séparemment et j'ai trouvé:
LimF(x)=- l'inifni(en 1+)
LimF(x)=+l'infini (en 1-)

Il existe donc une asymptote en x=1
2.Montrer que F(x)=x/1-x

Pour cette question je bloque :s
Merci de m'aider
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[fiatlux]

Si j'ai bien lu ce que t'as écrit, c'est ça? :

ou alors il manque des paranthèses?

[invite48d8a2e3]

Oui c'est ça

[fiatlux]

là tu multiplies par dans la paranthèse:

et là tu vois que tu peux simplifier le truc devant la paranthèse avec la première partie du premier terme de la paranthèse... je te laisse faire et tu verras que ça va se simplifier au fur et à mesure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite48d8a2e3]

Ok mais par contre à un moment j'arrive à:

x/x^n-1(1-x) - ...- (1-x)/x(1-x)-1
Et je ne peux plus simplifier ... :s ?

[fiatlux]

tu peux simplifier le premier terme par x en haut et en bas, ce qui te donne . Je continue le développement:
et là, c'est pareil, le terme de devant se simplifie avec la première partie du premier terme de la paranthèse. Il reste alors:
et c'est reparti, le terme de devant se simplifie avec la première partie du premier terme de la paranthèse, et ça se répétra comme ça jusqu'à la fin. Donc au final, tu arriveras à:
cqfd

[invite48d8a2e3]

Ok j'ai réussi et j'ai bien compris.
Par contre je crois que j'ai un probleme avec la question qui suit aussi :s

En déduire l'existance d'une fonction E_n(x) telle que, pou tout x différent de 1 :

1/(1-x)= 1+x+x²+...+xⁿ
et LimE_n(x)=0 quand x tend vers 0

J'ai essayé de prendre pour fonction E(x)=1/xⁿ(1-x) mais ça ne marche pas :s Merci de m'aider

[fiatlux]

En déduire l'existance d'une fonction E_n(x) telle que, pou tout x différent de 1 :

1/(1-x)= 1+x+x²+...+xⁿ
et LimE_n(x)=0 quand x tend vers 0

C'est vraiment ça la donnée ?

[invite48d8a2e3]

Oups -_- j'ai oublié le plus impotant
En déduire l'existance d'une fonction En(x) telle que, pou tout x différent de 1 :

1/(1-x)= 1+x+x²+...+xⁿE_n(x)
et LimE_n(x)=0 quand x tend vers 0

Voila

[fiatlux]

Ce serait pas ça par hasard?

1/(1-x)= (1+x+x²+...+xⁿ)E_n(x)

[invite48d8a2e3]

Oui c'est ça désolé

[fiatlux]

En fait, ce serait pas ça plutôt ?
1/(1-x)= 1+x+x²+...+xⁿ+E_n(x)
(si tu me réponds que oui, je te descends )

[invite48d8a2e3]

xD Non non c'est ce que vous avez le post d'avant ^^ avec une multiplication entre E_n et 1+x+x²...

[fiatlux]

Bon. Z'allons-z'y:
On sait que:

Donc:

Donc:

Donc il faudrait que ce qu'il y a à droite de l'égalité soit égal à , donc:

Donc:

Tu peux t'arrêter là, ou alors tu développes le dénominateur et tu remarques que:
donc:

[invite48d8a2e3]

le dénominateur c'est 1-x dans la premiere égalité... ça change pas grd chose de toute maniere ?

[fiatlux]

oups. Non, effectivement, ça change presque rien (enfin presque)..
donc:

[invite48d8a2e3]

Oui c'est ce que j'ai trouvé aussi Par contre je ne comprends pas bien l'étape là:
Donc il faudrait que ce qu'il y a à droite de l'égalité soit égal à (1+x+x²+...+xⁿ) donc :
(1+x+x²+...+xⁿ)En(x)=xⁿ⁺¹/1-x+(1+x+x²+...+xⁿ)

[fiatlux]

Nous on veut montrer que
Dans notre développement (c'est à dire à la ligne ), on voit tout d'un coup qu'on a justement tout seul d'un côté du signe égal. Donc pour montrer que , il faut que ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal soit égal à

[invite48d8a2e3]

Ah oui oui oui tout à fait !
Excusez moi c'est tard je suis fatiguée ^^

En tout cas merci pour tout ! =D
Bonne soirée !

[fiatlux]

De rien Et pareillement