montrer que (p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²

[invite85dacfd6]

bonsoir, je suis en première S
Cela fait maintenant une heure que j'éssaye de monter que (p-a)²+p-b)²+(p-c)²+p² = a²+b²+c²
avec p: (a+b+c)/2

j'ai trouvé que:
(p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²= 4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc
=16a²+32ab+32ac+32bc+16b²+16c²-4a²+4ab+4ac+a²-4b²+4ab+4bc+b²-4c²+4ac+4bc+c²

Est-ce que pour le moment cela est bon ? svp aidez moi je bloque arrivée là..
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[invite13297068]

(p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²= 4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc

Ca c'est juste.
Après, je pense pas qu'il faille tout développer.

4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4p² - 2p(a+b+c) +a²+b²+c²
4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4((a+b+c)/2)² -2((a+b+c)/2)(a+b+c)+a²+b²+c²
4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4(a+b+c)²/4 - (a+b+c)(a+b+c) +a²+b²+c²
4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = (a+b+c)²-(a+b+c)²+a²+b²+c²
4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = a²+b²+c² CQFD.

[Jeanpaul]

On voit assez bien que la somme 4p² - 2p(a+b+c) permet de mettre 2p en facteur et que ça fait zéro.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

(p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²= 4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc

Ca c'est juste.
Après, je pense pas qu'il faille tout développer.

4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4p² - 2p(a+b+c) +a²+b²+c²
...

Pour compléter la réponse de Jeanpaul :

Pourquoi ne pas remplacer (a+b+c) par 2p dès la première ligne ?
On a
4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc = 4p² -2px2p + a²+b²+c²
Et combien fait ce qui est en gras ?

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

bonsoir, je suis en première S
Cela fait maintenant une heure que j'éssaye de monter que (p-a)²+p-b)²+(p-c)²+p² = a²+b²+c²
avec p: (a+b+c)/2

j'ai trouvé que:
(p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²= 4p²-2ap+a²-2pb+b²+c²-2pc
=16a²+32ab+32ac+32bc+16b²+16c²-4a²+4ab+4ac+a²-4b²+4ab+4bc+b²-4c²+4ac+4bc+c²

Est-ce que pour le moment cela est bon ? svp aidez moi je bloque arrivée là..

Beaucoup plus simple :
(p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²-(a²+b²+c²)
=(p-a)²-a²+(p-b)²-b²+(p-c)²-c²+p²
=p(p-2a)+p(p-2b)+p(p-2c)+p²
=p[3p-(2a+2b+2c)+p]
=p[4p-4p]
=0
<=>(p-a)²+(p-b)²+(p-c)²+p²=a²+b²+c²