Devoir sur suites numériques

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

Je suis maintenant plongé depuis plusieurs heures sur un devoir sur les suites numériques mais je ne parviens pas à résoudre certains exercices :S J'aurai donc besoin de votre aide !
Voici l'énoncé :

On considère l'ensemble (E) des suites (xn) définies sur N et vérifiant la relation suivante "pour tout entier non nul, xn+1 - xn = 0,24xn-1 (Dans cet exercice, n est en indice).

1) On considère un réel l non nul et la suite (tn)= l^n définie sur N. Démontrer que la suite (tn) appartient a l'ensemble (E) <=> l est solution de l'équation l² - l -0,24 = 0.
En déduire que les suites (tn) appartiennent a l'ensemble (E).

Merci d'avance pour votre aide ! ^^
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[invitea97b4264]

Jai testé quelques pistes mais celles ci ne me semble pas correctes. J'ai pensé a démontrer que xn+1 -xn = l^n mais cela ne me semble pas approprié :S

[hhh86]

Bonjour à tous !

Je suis maintenant plongé depuis plusieurs heures sur un devoir sur les suites numériques mais je ne parviens pas à résoudre certains exercices :S J'aurai donc besoin de votre aide !
Voici l'énoncé :

On considère l'ensemble (E) des suites (xn) définies sur N et vérifiant la relation suivante "pour tout entier non nul, xn+1 - xn = 0,24xn-1 (Dans cet exercice, n est en indice).

1) On considère un réel l non nul et la suite (tn)= l^n définie sur N. Démontrer que la suite (tn) appartient a l'ensemble (E) <=> l est solution de l'équation l² - l -0,24 = 0.
En déduire que les suites (tn) appartiennent a l'ensemble (E).

Merci d'avance pour votre aide ! ^^

1/On suppose que (tn) appartient à (E) avec n appartenant à IN*
On a alors tn+1 - tn = 0,24tn-1 <=> l^n+1-l^n=0,24l^n-1
<=> l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1
<=> l²-l=0,24 comme l est non nul
<=> l²-l-0,24=0

2/On suppose l²-l-0,24=0
Comme l est non nul, alors l^(n-1) est non nul
On a alors l^(n-1)(l²-l-0,24)=0
<=>l²(l^n-1)-l(l^n-1)-0,24l^n-1=0
<=>l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1
<=> l^n+1-l^n=0,24l^n-1
<=> tn+1 - tn = 0,24tn-1
Donc (tn) appartient à (E)

Par conséquant (tn) appartient à (E) éqivaut à l²-l-0,24=0

[hhh86]

(tn) appartiennent a l'ensemble (E) <=> l²-l-0.24=0
On recherche donc les valeurs de l telles que l²-l-0.24=0
Calculons le discriminant de ce trinôme
Delta=b²-4ac avec a=1,b=-1 et c=-0.24
Delta=1.96, l'équation a donc deux solutions :
l1=-0.2
l2=1.2
Donc (tn) appartient à (E) équivaut à Pour tout n de IN*, tn=0,15^n ou tn=1,15^n

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea97b4264]

1/On suppose que (tn) appartient à (E) avec n appartenant à IN*
On a alors tn+1 - tn = 0,24tn-1 <=> l^n+1-l^n=0,24l^n-1

=> jusque la je comprends

<=> l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1
<=> l²-l=0,24 comme l est non nul
<=> l²-l-0,24=0

=> la en revanche je ne comprends plus comment peut tu supposer cela ??

[invitea97b4264]

si quelqu'un pouvait mexpliquer je ne vois vraiment pas comment on peut multiplier l dans l² - l - 0,24 par l^n-1 car

On suppose que l^n+1- l^n = 0,24l^n-1
alors l^n+1- l^n = l² - l -0,24 <=> l²(0,24l^n-1)-l(0,24l^n-1)=0,24l^n-1

Voila ce que je pensai correct en fait je ne comprend pas de quel droit on peut multiplier par l^n-1 !

[hhh86]

Si a=b, alors pour tout c appartenant à IR, ac=bc

[invitea97b4264]

donc dans ce cas tu dois multiplier par l^n-1 des deux cotés !

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

hhh86 t'a tout indiqué. A ceci près que j'aurais mis des signes d'implication ( => ) plutôt que des signes d'équivalence.
La "double implication" montre l'équivalence.

Pour passer de t_n+1 - t_n = 0,24t_n-1 => lⁿ⁺¹-lⁿ=0,24l^n-1 il a suffit de remplacer (t_n) par lⁿ, on est d'accord ?
Ensuite, il a factorisé par l^n-1 puis simplifié par ce terme qui est non nul (voir hypothèse).

Pour la deuxième implication, hhh86 a simplement multiplié le polynôme du second degré de départ par l^n-1 pour retrouver la forme voulue.

Est-ce plus clair ?
En fait, je n'ai pas ajouté grand chose... c'est hhh86 qui a tout fait

Cordialement,
Duke.

[hhh86]

si quelqu'un pouvait mexpliquer je ne vois vraiment pas comment on peut multiplier l dans l² - l - 0,24 par l^n-1 car

On suppose que l^n+1- l^n = 0,24l^n-1
alors l^n+1- l^n = l² - l -0,24 <=> l²(0,24l^n-1)-l(0,24l^n-1)=0,24l^n-1

Voila ce que je pensai correct en fait je ne comprend pas de quel droit on peut multiplier par l^n-1 !

Ce que tu fais est absurde

Jusqu'à cette égalité, tu es d'accord ? l^n+1-l^n=0,24l^n-1
Donc (l^n-1+2)-(l^n-1+1)=0,24l^n-1
<=>l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1
<=>(l^n-1)(l²-l-0,24)=0
Or l^n-1 est non nul car l est non nul
D'où l²-l-0,24=0

[invitea97b4264]

"<=> l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1"

cest ceci que je ne comprends pas comment peut-on arriver a cette ecriture. Je ne comprends pas la multiplication par l^n-1 :S

[hhh86]

Bonsoir.

hhh86 t'a tout indiqué. A ceci près que j'aurais mis des signes d'implication ( => ) plutôt que des signes d'équivalence.
La "double implication" montre l'équivalence.

Pour passer de t_n+1 - t_n = 0,24t_n-1 => lⁿ⁺¹-lⁿ=0,24l^n-1 il a suffit de remplacer (t_n) par lⁿ, on est d'accord ?
Ensuite, il a factorisé par l^n-1 puis simplifié par ce terme qui est non nul (voir hypothèse).

Pour la deuxième implication, hhh86 a simplement multiplié le polynôme du second degré de départ par l^n-1 pour retrouver la forme voulue.

Est-ce plus clair ?
En fait, je n'ai pas ajouté grand chose... c'est hhh86 qui a tout fait

Cordialement,
Duke.

Merci Duke.
l'équivalence est juste dans ce cas. C'est vrai qu'il serait plus lisible de mettre des implications

[hhh86]

"<=> l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1"

cest ceci que je ne comprends pas comment peut-on arriver a cette ecriture. Je ne comprends pas la multiplication par l^n-1 :S

Il n'y a pas de multiplication

Mais juste une simplification a^(p+k)=a^p*a^k

[Duke Alchemist]

Un autre exemple :

a⁵ + a⁴ - a² = a²x(a³ + a² -1),
on est d'accord ?
Eh bien là, c'est pareil sauf que tu as un n en exposant...

Duke.

EDIT : Reste zen hhh86 Les évidences ne sont pas les mêmes pour tout le monde

[invitea97b4264]

Ce que tu fais est absurde

Jusqu'à cette égalité, tu es d'accord ? l^n+1-l^n=0,24l^n-1

=> oui jusque la je suis daccord

Donc (l^n-1+2)-(l^n-1+1)=0,24l^n-1

=> la je ne comprends plus pourtant jessaye mais je ne comprends pas cette partie du raisonnement :S

(je suis une bouse en maths je sais )

[invitea97b4264]

cest bon jai compris

[hhh86]

C'est pas possible !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!
Tu ne sais pas que 2-1=1 et 1+1=0 ???????????????????

[hhh86]

Ah quand même

[Duke Alchemist]

(lⁿ⁺¹)-(lⁿ)=0,24l^n-1
L'astuce consiste à faire apparaître l^n-1 pour pouvoir simplifier. Le comprends-tu ?

Pour cela, il suffit de "savoir" que :
n+1 = n-1 + 2
n = n-1 + 1

d'où : (l^n-1+2)-(l^n-1+1)=0,24l^n-1 et la suite...

Je pense que cela aurait été plus compréhensible si vous aviez mis des exposants ou tout au moins des parenthèses, non ?

EDIT : Rhooo... trop lent !
EDIT 2 : Voilà une bonne chose, si tu as compris

[hhh86]

Merci Duke, il va falloir que je me mette au latex

[Duke Alchemist]

Euh, je ne suis pas passer par le TEX là. J'ai juste utilisé les balises X² et X₂ qui sont juste avant la balise TEX (justement) quand on envoie un message depuis le mode avancé, c'est tout

Il est vrai qu'en TEX, ça rend mieux encore mais il faut connaître les tags des différents symboles

[invitea97b4264]

oui merci jai mis un peu de temps mais jai fini par comprendre cest lessentiel

[hhh86]

Euh, je ne suis pas passer par le TEX là. J'ai juste utilisé les balises X² et X₂ qui sont juste avant la balise TEX (justement) quand on envoie un message depuis le mode avancé, c'est tout

Il est vrai qu'en TEX, ça rend mieux encore mais il faut connaître les tags des différents symboles

Ah oui merci pour le renseignement, c'est vrai que lorsqu'on rédige un message en cliquant sur réponse rapide, on a pas accès à toutes ces options

[invitea97b4264]

Donc (tn) appartient à (E) équivaut à Pour tout n de IN*, tn=0,15^n ou tn=1,15^n

Je ne comprends pas pourquoi l n'est pas égal aux solutions trouvées, cad l= 1,2 ou l=-0,2 :S

[hhh86]

ça c'est une erreure de ma part que j'ai oublié de modifier en rééditant le message donc c'est bien les valeurs 1,2 et -0,2 qu'il faut prendre

[invitea97b4264]

oui encore il me semblait merci pour votre aide je vais essayer de me debrouiller pour la suite pour linstant

[invitea97b4264]

jaurai besoin d'une confirmation à un exercice dont je ne suis pas sure de la réponse
Voici l'énoncé :

3) Déterminer lim un quand n tend vers +00
Un = (39/7)(1,2)^n + (3/7)(-0,2)^n

[invitea97b4264]

Jai trouvé que lim un = +00 car lim (1,2)^n = +00 pour n tend vers +00 et lim (-0,2)^n = +00 pour n tend vers +00

Ce raisonnement me semble trop simple pour etre correct

[Duke Alchemist]

Je ne suis pas d'accord avec la deuxième limite que tu proposes

[invitea97b4264]

lim (-0,2)^n = -00 ?