Devoir sur suites numériques

[lisette45170]

Bonjour à tous !

Je suis maintenant plongé depuis plusieurs heures sur un devoir sur les suites numériques mais je ne parviens pas à résoudre certains exercices :S J'aurai donc besoin de votre aide !
Voici l'énoncé :

On considère l'ensemble (E) des suites (xn) définies sur N et vérifiant la relation suivante "pour tout entier non nul, xn+1 - xn = 0,24xn-1 (Dans cet exercice, n est en indice).

1) On considère un réel l non nul et la suite (tn)= l^n définie sur N. Démontrer que la suite (tn) appartient a l'ensemble (E) <=> l est solution de l'équation l² - l -0,24 = 0.
En déduire que les suites (tn) appartiennent a l'ensemble (E).

Merci d'avance pour votre aide ! ^^

[lisette45170]

Jai testé quelques pistes mais celles ci ne me semble pas correctes. J'ai pensé a démontrer que xn+1 -xn = l^n mais cela ne me semble pas approprié :S

[hhh86]

Bonjour à tous !

Je suis maintenant plongé depuis plusieurs heures sur un devoir sur les suites numériques mais je ne parviens pas à résoudre certains exercices :S J'aurai donc besoin de votre aide !
Voici l'énoncé :

On considère l'ensemble (E) des suites (xn) définies sur N et vérifiant la relation suivante "pour tout entier non nul, xn+1 - xn = 0,24xn-1 (Dans cet exercice, n est en indice).

1) On considère un réel l non nul et la suite (tn)= l^n définie sur N. Démontrer que la suite (tn) appartient a l'ensemble (E) <=> l est solution de l'équation l² - l -0,24 = 0.
En déduire que les suites (tn) appartiennent a l'ensemble (E).

Merci d'avance pour votre aide ! ^^

1/On suppose que (tn) appartient à (E) avec n appartenant à IN*
On a alors tn+1 - tn = 0,24tn-1 <=> l^n+1-l^n=0,24l^n-1
<=> l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1
<=> l²-l=0,24 comme l est non nul
<=> l²-l-0,24=0

2/On suppose l²-l-0,24=0
Comme l est non nul, alors l^(n-1) est non nul
On a alors l^(n-1)(l²-l-0,24)=0
<=>l²(l^n-1)-l(l^n-1)-0,24l^n-1=0
<=>l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1
<=> l^n+1-l^n=0,24l^n-1
<=> tn+1 - tn = 0,24tn-1
Donc (tn) appartient à (E)

Par conséquant (tn) appartient à (E) éqivaut à l²-l-0,24=0

[hhh86]

(tn) appartiennent a l'ensemble (E) <=> l²-l-0.24=0
On recherche donc les valeurs de l telles que l²-l-0.24=0
Calculons le discriminant de ce trinôme
Delta=b²-4ac avec a=1,b=-1 et c=-0.24
Delta=1.96, l'équation a donc deux solutions :
l1=-0.2
l2=1.2
Donc (tn) appartient à (E) équivaut à Pour tout n de IN*, tn=0,15^n ou tn=1,15^n

[lisette45170]

1/On suppose que (tn) appartient à (E) avec n appartenant à IN*
On a alors tn+1 - tn = 0,24tn-1 <=> l^n+1-l^n=0,24l^n-1

=> jusque la je comprends

<=> l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1
<=> l²-l=0,24 comme l est non nul
<=> l²-l-0,24=0

=> la en revanche je ne comprends plus comment peut tu supposer cela ??

[lisette45170]

si quelqu'un pouvait mexpliquer je ne vois vraiment pas comment on peut multiplier l dans l² - l - 0,24 par l^n-1 car

On suppose que l^n+1- l^n = 0,24l^n-1
alors l^n+1- l^n = l² - l -0,24 <=> l²(0,24l^n-1)-l(0,24l^n-1)=0,24l^n-1

Voila ce que je pensai correct en fait je ne comprend pas de quel droit on peut multiplier par l^n-1 !

[hhh86]

Si a=b, alors pour tout c appartenant à IR, ac=bc

[lisette45170]

donc dans ce cas tu dois multiplier par l^n-1 des deux cotés !

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

hhh86 t'a tout indiqué. A ceci près que j'aurais mis des signes d'implication ( => ) plutôt que des signes d'équivalence.
La "double implication" montre l'équivalence.

Pour passer de t_n+1 - t_n = 0,24t_n-1 => lⁿ⁺¹-lⁿ=0,24l^n-1 il a suffit de remplacer (t_n) par lⁿ, on est d'accord ?
Ensuite, il a factorisé par l^n-1 puis simplifié par ce terme qui est non nul (voir hypothèse).

Pour la deuxième implication, hhh86 a simplement multiplié le polynôme du second degré de départ par l^n-1 pour retrouver la forme voulue.

Est-ce plus clair ?
En fait, je n'ai pas ajouté grand chose... c'est hhh86 qui a tout fait

Cordialement,
Duke.

[hhh86]

si quelqu'un pouvait mexpliquer je ne vois vraiment pas comment on peut multiplier l dans l² - l - 0,24 par l^n-1 car

On suppose que l^n+1- l^n = 0,24l^n-1
alors l^n+1- l^n = l² - l -0,24 <=> l²(0,24l^n-1)-l(0,24l^n-1)=0,24l^n-1

Voila ce que je pensai correct en fait je ne comprend pas de quel droit on peut multiplier par l^n-1 !

Ce que tu fais est absurde

Jusqu'à cette égalité, tu es d'accord ? l^n+1-l^n=0,24l^n-1
Donc (l^n-1+2)-(l^n-1+1)=0,24l^n-1
<=>l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1
<=>(l^n-1)(l²-l-0,24)=0
Or l^n-1 est non nul car l est non nul
D'où l²-l-0,24=0

[lisette45170]

"<=> l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1"

cest ceci que je ne comprends pas comment peut-on arriver a cette ecriture. Je ne comprends pas la multiplication par l^n-1 :S

[hhh86]

Bonsoir.

hhh86 t'a tout indiqué. A ceci près que j'aurais mis des signes d'implication ( => ) plutôt que des signes d'équivalence.
La "double implication" montre l'équivalence.

Pour passer de t_n+1 - t_n = 0,24t_n-1 => lⁿ⁺¹-lⁿ=0,24l^n-1 il a suffit de remplacer (t_n) par lⁿ, on est d'accord ?
Ensuite, il a factorisé par l^n-1 puis simplifié par ce terme qui est non nul (voir hypothèse).

Pour la deuxième implication, hhh86 a simplement multiplié le polynôme du second degré de départ par l^n-1 pour retrouver la forme voulue.

Est-ce plus clair ?
En fait, je n'ai pas ajouté grand chose... c'est hhh86 qui a tout fait

Cordialement,
Duke.

Merci Duke.
l'équivalence est juste dans ce cas. C'est vrai qu'il serait plus lisible de mettre des implications

[hhh86]

"<=> l²(l^n-1)-l(l^n-1)=0,24l^n-1"

cest ceci que je ne comprends pas comment peut-on arriver a cette ecriture. Je ne comprends pas la multiplication par l^n-1 :S

Il n'y a pas de multiplication

Mais juste une simplification a^(p+k)=a^p*a^k

[Duke Alchemist]

Un autre exemple :

a⁵ + a⁴ - a² = a²x(a³ + a² -1),
on est d'accord ?
Eh bien là, c'est pareil sauf que tu as un n en exposant...

Duke.

EDIT : Reste zen hhh86 Les évidences ne sont pas les mêmes pour tout le monde

[lisette45170]

Ce que tu fais est absurde

Jusqu'à cette égalité, tu es d'accord ? l^n+1-l^n=0,24l^n-1

=> oui jusque la je suis daccord

Donc (l^n-1+2)-(l^n-1+1)=0,24l^n-1

=> la je ne comprends plus pourtant jessaye mais je ne comprends pas cette partie du raisonnement :S

(je suis une bouse en maths je sais )