Récurence,dérivée et...

[invite72b32a1f]

Bonjour à tous!

J'ai besoin d'une "petite" aide!

Alors voilà
1.Soit f la fonction définie sur ]a;+infini[ par f(x)=1/(x-a)
a)Calculer f'(x),f''(x),f'''(x) et f''''(x).
b)Conjecturer l'expression de f^(n)(x) pour n appartient à N*.Démontrer la par récurence.

2.Soit g la fonction définie sur]1;+infini[ par g(x)=1/(x^2-1)
a)Déterminer les réels p et q tels que,pour tout x de ]1;+infini[, g(x)=p/(x-1)+q/(x+1).
b)Calculer g^(n)(x) pour tout n de N*

Alors j'ai calculer les dérivées et j'ai trouvé ((-1)^n*n!)/(x-a)^n+1 pour l'expression de f de n.Donc est-ce que c bon et quelqu'un pourrait il m'aider à la démontrer par récurence.
Ensuite pour les réels p et q je n'y arrive pas:j'obtient px+qx+p-q=1 et pis voilà...

D'avance merci!

P.S:Maudite soit les maths!Je rigole...
-----

[Futura]

salut,

pour la récurrence touille un peu et ça devrait passer !

pour trouver p et q c'est simple tu décomposes en elts simples, en sachant que les racines de X²=1 sont 1 et -1, facile non ?

tu as

p/(x-1)+q/(x+1) = 1/(x^2-1)

tu multiplies par x-1 et évalue en 1 => tu as p !

le reste coule de source !

Futura

[invite72b32a1f]

Ca veut dire quoi evalué en 1?et décomposé en elts simples ?
ops:
Je suis en terminale S!
Jarod,pas tres fort en maths!

[Quinto]

Si t'es en terminale, t'as pas le choix, tu utilises la méthode bourrine:

tu sais que p et q existent tels que
q/(x+1)+p/(x-1) = 1/(x²-1)

Bah ce qui pourrait etre pas mal ce serait de tout mettre au même dénominateur et d'identifier p et q

tu vas trouver un truc qui va ressembler à

q(x-1)+p(x+1) = 1

tu peux par exemple poser y(x)=q(x-1)+p(x+1)
tu sais que y(x)=1 pour n'importe quel x, donc en particulier pour des x "interessant"
ici ceux qui sont interessant sont 1 et -1 parce qu'ils vont faire partir q et p

y(1)=q*0+p(1+1)=1 d'ou 2p=1 et p=1/2

je te laisse trouver de la même manière q

[A voir en vidéo sur Futura]

[Futura]

'soir,

Quinto a répondu à tes attentes il me semble ! oui désolé la méthode des elts simples on voit ça après la bac ou en Tale si certains profs sont motivés. Sinon évaluer en 1 c'est faire x=1 dans ta fraction rationnelle.

Futura

[invite72b32a1f]

salut

merci à tous de votre aide!

Si vous avez des trucs à dire sur la récurence et l'expression de g de n n'hésiter surout pas !

++

[invite32bb90e8]

La récurrence est évidente :
tu suppose que f^n = ce que tu as écrit
tu dérives cette expression, et tu tombes sur ce que tu as écrit en remplaçant n par (n+1)

Rqe : il faut savoir que n!.n = (n+1)!

Pour l'amorçage, il y a la question 1.a)

Marc

[invite32bb90e8]

oups j'ai pas vu, mais tu demandais g (et moi je t'aidais pour f)

Marc

[invite32bb90e8]

donc pour la dérivée n-iéme de g, tu utilises le fait que :
g(x) = 0.5/(x-1) + 0.5/(x+1)

Tu sais dériver n fois 1/(x-1) et 1/(x+1) en prenant respectivement a = 1 et a = -1 dans le résultat de 1°)

Voilà, je te laisse terminer le calcul. (pas besoin de récurrence cette fois-ci !)

Marc