Démontrer que a^n + b^n est divisible par a + b si n est impair

dsb0 · 06/12/2009 - 11h27

Bonjour,

j'aurais besoin d'aide pour une démonstration que je n'arrive pas à faire :

" Montrer que si $n$ est un nombre impair, alors $a^n + b^n$ est divisible par $a + b$ ( $a$ , $b$ et $n$ sont des entiers positifs). "

J'ai essayé de le faire avec quelqu'un mais ça ne m'a pas trop convaincu car on n'utilise pas le fait que n doit être impair...

Sinon je sais qu'il existe cette factorisation, mais il faudrait montrer que ça ne marche pas si n est pair, non ? :

Si $n$ est impair, alors $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b - a^{n-3} b^2 - ... +a^2 b^{n-3} - a b^{n-2} + b^{n-1})$

Jeanpaul · 06/12/2009 - 11h42

Imagine que tu poses x = b/a, tu vois que a^n + b^n ressemble au polynôme 1 + x^n
Quand n est impair, x=-1 est solution, donc (1+x) se met en facteur et on voit assez facilement que ça veut dire que(a+b) est en facteur.
Et ça ne marche pas si n est pair.

Seirios · 06/12/2009 - 11h53

Envoyé par dsb0

Si $n$ est impair, alors $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b - a^{n-3} b^2 - ... +a^2 b^{n-3} - a b^{n-2} + b^{n-1})$

De manière générale, tu as $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$ ; tu peux effectivement utiliser cette formule ici n étant impair : $a^n+b^n=a^n-(-b)^n$ .

dsb0 · 06/12/2009 - 12h12

Envoyé par Jeanpaul

Imagine que tu poses x = b/a, tu vois que a^n + b^n ressemble au polynôme 1 + x^n
Quand n est impair, x=-1 est solution, donc (1+x) se met en facteur et on voit assez facilement que ça veut dire que(a+b) est en facteur.
Et ça ne marche pas si n est pair.

Donc si j'ai bien compris, on écrit $a^n + b^n$ sous cette forme : $a^n(1 + (\frac{b}{a})^n)$ , on compare avec le polynôme $1 + x^n$ qui est divisible par $(x + 1)$ quand $n$ est est impair.

Donc $1 + (\frac{b}{a})^n$ est divisible par $(\frac{b}{a} + 1)$ quand n est impair ?

Mais j'ai un peu de peine à voir la dernière étape, qu'on en déduit ensuite que $a^n + b^n$ est divisible par $a + b$ .

dsb0 · 06/12/2009 - 14h12

Et si $b$ n'est pas un multiple entier de $a$ , $\frac{b}{a}$ donne un nombre rationnel et cette démonstration ne marche plus... (?)

Si tu repasses par là Jeanpaul, j'aimerais bien quelques précisions supplémentaires.

Seirios · 06/12/2009 - 14h59

Envoyé par dsb0

Donc si j'ai bien compris, on écrit $a^n + b^n$ sous cette forme : $a^n(1 + (\frac{b}{a})^n)$ , on compare avec le polynôme $1 + x^n$ qui est divisible par $(x + 1)$ quand $n$ est est impair.

Donc $1 + (\frac{b}{a})^n$ est divisible par $(\frac{b}{a} + 1)$ quand n est impair ?

En travaillant dans $\mathbb{Z}$ , tu ne peux pas dire que $1 + (\frac{b}{a})^n$ est divisible par $(\frac{b}{a} + 1)$ .

Envoyé par dsb0

Et si $b$ n'est pas un multiple entier de $a$ , $\frac{b}{a}$ donne un nombre rationnel et cette démonstration ne marche plus... (?)

Je pense que tu prends le problème du mauvais côté : tu peux écrire $a^n+b^n= a^n \left(1+ \left(\frac{b}{a}\right)^n \right)= a^n \left(1+ \frac{b}{a} \right)(...)$ , et là tu peux conclure.

dsb0 · 06/12/2009 - 17h44

Ok j'ai compris le truc

Merci beaucoup

dsb0 · 06/12/2009 - 18h33

Autre question maintenant :

(Je laisse dans le même sujet car en fait il s'agit de trois questions liées du même exercice et il faut utiliser les deux premières questions pour répondre à la troisième.)

Pour la deuxième question,

"Montrer que si $n = 4k + 2$ , alors $a^n + b^n$ est divisible par $a^2 + b^2$ .", est-ce que cette démonstration vous semble correcte ? :

$n = 4k + 2$ est pair, donc on peut écrire : $n = 2m \in \mathbb{N}*$ . Donc $m = \frac{n}{2} = 2k + 1$ , et ce $m$ est forcément impair.

Si maintenant on écrit :

$\frac{a^m + b^m}{(a + b)}$ (qui appartient à $\mathbb{N}$ puisqu'on se retrouve dans le cas de la question précédente) et que l'on élève cette expression au carré, on obtient :

$\frac{{(a^m + b^m)}^2}{{(a + b)}^2} =$

$\frac{a^{2m} + b^{2m} + 2(ab)^m}{a^2 + b^2 + 2(ab)}$ .

Or l'expression $\frac{a^{2m} + b^{2m}}{a^2 + b^2}$ correspond à l'énoncé et sera forcément un nombre entier, et avec les $+ 2(ab)^m$ et $+2(ab)$ on reste encore dans les nombres entiers puisque $2(ab)^m$ est un multiple de $2(ab)$ . Ce qui prouve que ce qu'on cherchait...

Qu'en pensez-vous ? Merci

Jeanpaul · 06/12/2009 - 18h42

Ca doit être à peu près ça, mais si tu regardes bien, tu verras que c'est en fait le même problème qu'avant, si tu poses b = i b' en passant chez les complexes, au moins formellement.

dsb0 · 06/12/2009 - 19h06

Hmmm, je ne suis pas sûr de voir comment faire de cette manière avec les complexes... mais si tu penses que ce que j'ai écrit avant est juste, je m'en contenterai pour le moment.

Quant à la troisième question, je ne sais pas trop comment faire. Voilà l'énoncé :

" Soit $p = 4k + 3$ un nombre premier impair. Utiliser les questions précédentes pour montrer que si $a^2 + b^2$ est divisible par $p$ , alors tant $a$ que $b$ doivent être divisibles par $p$ . (Indication : utiliser le fait que si $a$ n'est pas divisible par $p$ , alors $a^{p-1} \equiv 1 (mod \ p)$ .) "

L'indication me fait penser qu'il faudrait essayer de démontrer cela par l'absurde en partant de l'hypothèse que $a$ n'est pas divisible par $p$ pour aboutir à une contradiction. Ou alors par contraposition, $\frac{a}{4k + 3} \not\in \mathbb{N}$ ou $\frac{b}{4k + 3} \not\in \mathbb{N} \Longrightarrow \frac{a^2 + b^2}{4k + 3} \not\in \mathbb{N}$ ?

Idées ?

nikkolasg · 07/12/2009 - 12h44

Pour l'exo 2, je ne suis pas sur que ca marche,elle marche seulement : si (a/b)^2 = q ( q compris ds N) alors a/b = SQRT(q) avec sqrt(q) compris ds Z)
Peut etre que le quotient au carre est un nombre entier, mais pas forcement sa racine... je ne sais pas trop !

dsb0 · 09/12/2009 - 19h57

En fait je crois que j'ai trouvé une manière beaucoup plus simple et rapide pour la question 2 :

$a^n + b^n = a^{4k + 2} + b^{4k + 2} = (a^{2})^{2k + 1} + (b^{2})^{2k + 1}$ et comme $2k + 1$ est impair, on applique le résultat de la question 1...

Par contre pour le 3

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