Inégalité

invite64492f4d · 10/12/2009, 21h46

Prouver l'inégalité suivante pour tous a,b,c strictement positif :

$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

juste une indication si possible merci d'avance

**hhh86** · 11/12/2009, 18h58

Envoyé par b.s.o

Prouver l'inégalité suivante pour tous a,b,c strictement positif :

$\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}+\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}$

juste une indication si possible merci d'avance

Pas très facile.
J'ai réussi à le démontrer. Tu peux pour cela essayer de trouver quand l'expression de droite est minimale en fonction des valeurs de b.
Pour cela tu dérives l'expression en fonction de b et tu dois retomber sur une équation du second degré.

**hhh86** · 11/12/2009, 21h02

En fait c'est même un peu plus compliqué que cela. Mais bon tu ne veux pas la réponse donc je te donnes la démarche exacte à suivre :
Pour que ce soit un peu plus clair, on pose b=x.
On cherche x telle que l'expression de droite soit minimale. On note f la fonction qui à x associe l'expression de droite.
Tu peux dériver l'expression et trouver où la dérivée s'annule pour x>0 (il n'y a qu'une seule valeur pour x>0). Notons cette valeur k
Tu en déduis que ta fonction est strictement monotone sur ]0;k] et sur [k;+inf[
Ensuite tu montres que f est strictement décroissante sur ]0;k] en calculant la limite en 0 de f(x) et en calculant f(k) en montrant que f(0)>f(k) (comme f est strictement monotone sur ]0;k] la conclusion est imédiate)
Ensuite tu montres que f est strictement croissante sur [k;+inf[ en calculant la limite en +inf et en montrant que f(k)<lim(x-->+inf)(f(x)) (comme f est strictement monotone sur [k;+inf[ la conclusion est imédiate)
Tu peux donc en déduire que pour tout x>0, f(x)>=f(k)
La démonstration s'achève ici

**Jeanpaul** · 12/12/2009, 09h48

Bien vu ! En plus, ça donne le cas d'égalité.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**hhh86** · 12/12/2009, 09h53

merci jeanpaul ^^

invite2220c077 · 12/12/2009, 16h48

Salut,

Une démonstration encore plus simple ...

On considère les points A, B, C et D tels que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

D'après la relation d'Al-Kashi :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Or d'après l'inégalité triangulaire :

$\text{[math]}$

D'où l'inégalité désirée.

invite2220c077 · 12/12/2009, 16h55

J'oubliais : les points sont tels qu'ils forment deux triangles accolés ADB et BCD, avec BD = b, AD = a et DC = c.

**hhh86** · 12/12/2009, 17h30

oui effectivement, il fallait y penser ^^

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