Nombre complexe

[invitec5a4e7e6]

Bonjour je voudrait savoir qu'est ca que les nombre complexe ?
Une definition claire et pas trops compliqué. Merci d'avance !!!!!!!
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[invite4d6b3e38]

Alors là ça va pas être simple, parce que les nombres complexes, c'est quand même un gros chapitre. Bon allons-y :

Tout d'abord, il faut savoir qu'il n'y a pas de racine carré à un réel négatif. C'est là qu'interviennent les nombres complexes. On a "créé" i tel que i*i=-1. i est donc à la base des nombres complexes. Ensuite, on a donné à i un coefficient b tel que z=bi, z étant un nombre complexe. b est appelé la partie imaginaire de z. En fait, z*z=-(b*b). Par exemple, une racine de -9 est 3i.

Enfin, on a donné à z une partie dite réelle, a, telle que z=a+bi. Cette partie réelle de z permet à C où C est l'ensemble des nombres complexes d'englober R, car R est l'ensemble des nombres complexes ayant une partie imaginaire nulle.

Voilà, j'espère avoir été assez clair.

[Quinto]

Donne toi un polynôme P à coeffs dans R.
C'est fait?

Bon, alors il existe un ensemble dans lequel il existe au moins deg(P) solutions. Cet ensemble sera noté C.
On dit alors que C est algebriquement clos.

En fait on peut montrer que dans cet ensemble il y'a en fait EXACTEMENT deg(P) solutions.

En fait, ce qui est très fort c'est que l'on peut montrer que si l'on prend un élément x de R, et un élément y de C-R, alors tout élément de C peut s'écrire comme combinaison linéaire de x et de y.

En fait, on va prendre comment élément de C-R une solution de
X²+1=0
On va noter par convention i, cette solution.
On a donc i²+1=0 (donc i²=-1)


Et donc tout élément de cet ensemble C peut s'écrire
a+ib ou a et b sont des réels.

[Coincoin]

Il avait demandé une définition claire, pas rigoureuse!
Par contre, ce que je comprend pas, c'est que si tu prend un ensemble contenant les racines de ton polynôme t'as pas forcément C tout entier. A moins que tu le fasses pour tout P de R[X]?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f53295a]

Donne toi un polynôme P à coeffs dans R.
C'est fait?

Bon, alors il existe un ensemble dans lequel il existe au moins deg(P) solutions. Cet ensemble sera noté C.
On dit alors que C est algebriquement clos.

Ce n'est pas tout à fait exact, on dit qu'un corps (k par exemple) est algébriquement clos, si tout polynôme à coefficients dans k a une racine dans k. On peut effectivement montrer que C (construit en ajoutant i au corps R) est algébriquement clos. C'est ce qui prouve alors que tout polynôme P de R[X] a deg(P) racines dans C (en les comptant avec multiplicités).

[Quinto]

Oui, mais reprend moi si je me trompe:

Tout polynôme de degré k a une racine u.
On peut factoriser par x-u puisque l'on est dans un anneau intègre.
Et ainsi de suite par récurrence.

Et on a l'équivalence de par l'intégrité, non?

Enfin peut etre que j'ai supposé trop vite que A[X] était intègre

[invite8f53295a]

Oui oui, tout ce que tu as dit d'autre est bon, je reprenais juste ta définition d'algébriquement clos qui n'était pas exactement la bonne.

[Quinto]

Ah ok

[invite459b7859]

un nombre complexe est un nombre qui s'écrit sous la forme

A+iB avec AєR , BєR et iєC et ona i^2=-1 et voila.
A s'appele la partie reelle et
B la partie imaginaire.