Bonsoir ! Je seche sur une question a propos de l'inégalité de convexité pour 3réels. Pourriez vous m'aider ?
Il s'agit de la derniere question de l'ex 2 mais je post quand meme l'ex 1 sachant que les deux sont complémentaires.
Enoncé : Ex 1 :
1) a) Prouver que si M € [AB] alors il existe a et b 2 réels de même signe et de somme non nulle tels que : M=bar(A;a),(B,b) Question résolue.
b) Si M € [AB] avec M inégal a A et B, alors il existe a et b 2 réels strictement positifs et de somme non nulle tels que M=bar(A;a)(A;b). Question résolue.
c) Si M € [AB] alors il existe un réel a appartenant à [0;1] tel que M=bar (A;a)(B;1-a) Question résolue.
2)Prouver finalement que le segment AB est l'ensemble des barycentres possibles du type bar (A;a),(B;1-a) lorsque a prend toutes les valeurs possibles de l'intervalle [0;1] Résolue
3) Prouver la conséquence suivante : si a et b 2 nombres avec a<b et tout nombre x€[a;b] alors il existe un nombre lambda compris entre 0et 1 tel que x= lambda*a + (1-lambda) * b résolue
Pour l'ex suivant on aura besoin des propriétés énoncé dans l'ex 1.
Ex 2 : On munit le plan d'un repere (O,i,j) orthonormé. On note E l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient x²<(ou égal à) y
Def : On dit qu'un ensemble de points E est convexe ssi lorsque M et N sont 2 points dans E alors le segment [MN] tout entier est contenu dans E.
Questions : 1) Tracer la parabole f(x) = x² (C'est fait.) Représenter l'ensemble E. Résolue
2) Démontrer que E est convexe en utilisant les résultats de l'exercice précédent. résolue
3) SOit A,B,C 3 points dans E. Démontrer sans calcul que l'isobarycentre de A,Bet C appartient a E. On utilisera la propriété suivante : Lorsque les coefficients de A B C sont strictement positifs, le barycentre de A B et C est a l'intérieur du trianlge ABC. Résolue
Enfin question 4 qui traite de l'inégalité de convexité.
4) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pour tous réels a,b et c on a :
(a+b+c)²<(ou égal à) 3(a²+b²+c²)
Et là, c'est le drame : Je ne sais vraiment pas d'ou partir.
Voici la résolution breve de l'ex 2 :
1)E est la partie du plan située complètement à l'intérieur de la parabole car y>=x²
2) soit A(a,b) et B(c,d) deux points de E
alors b>=a² et d>=c²
Soit M(x,y) un point de [AB]
on va montrer que M appartient à E cad y>=x²
d'après exo1 il existe t€[0,1] tel que tAM+(1-t)BM=0
donc
x=ta+(1-t)c et y=tb+(1-t)d
ka²+(1-k)c²-(ka+(1-k)c)²=ka²+(1-k)c²-k²a²-(1-k)²c²-2k(1-k)ac
=k(1-k)a²+k(1-k)c²-2k(1-k)ac
=k(1-k)(a²+c²-2ac)
=k(1-k)(a-c)²>=0 car k(1-k)>0
donc
ka²+(1-k)c²>=(ka+(1-k)c)²
donc E est convexe
3) Si c'est l'isobarycentre alors a b et c (coefficients) peuvent etre négatifs ou positifs du moments qu'ils soient égaux. Donc On peut dire que a=b=c=1 Donc l'isobarycentre est dans E...
4) Je bloque completement : (a+b+c)²<= 3(a²+b²+c²)
D'ou vient le 3 et le reste ? Par ou commencer ? Voila merci de votre aide.
Jah times.
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Mais alors G serait l'isobarycentre de ABC ? Avec quelles coordonnées ? En réalité j'ai du mal à voir a quoi correspond a b et c étant donné que nous sommes dans un repère. S'agirait-il de l'abscisse ?