Méthode de Hörner pour la résolution d'équations de degré n

[Antikhippe]

Qui connaît la méthode de Hörner pour la résolution d'équations de degré n ? Est-ce qu'elle se démontre ?
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[Quinto]

La méthode de Hörner est une méthode de factorisation, pas de résolution.
Algorithmiquement elle est plus rapide pour calculer les valeurs en 1point.

[Quinto]

Et il n'existe pas de méthode pour résoudre des équations algébriques de degré supérieur à 4.

[Antikhippe]

Oui, je me suis trompé, cette méthode sert à la factorisation d'équations. Mais est-ce que tu sais si on peut la démontrer ou alors puisque c'est une méthode, on ne peut pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Bah oui c'est assez trivial, mais est ce que tu sais ce que c'est?

[Antikhippe]

Bien sûr que je sais, c'est juste pour savoir !!! C'est une factorisation à l'aide d'un tableau.

[Quinto]

heu....

ax²+bx+c=((ax+b)x+c)

ax^3+bx²+cx+d=(((ax+b)x+c)x+d)
.
.
.
etc.
Voilà le schéma de Hörner.

[Antikhippe]

Avec le tableau, c'est plus facile et plus rapide je pense...

[Quinto]

Non mais plus rapide et plus facile que quoi?
C'est ca la méthode de Hörner.

[Coincoin]

Le terme de "méthode de Hörner" recouvre 2 choses:
1) l'écriture d'un polynôme sous la forme (a*x+b)*x+c (j'écris pour du degré 2 mais ça marche pour du degré n)... (méthode de Hörner de Quinto), utilisée notamment en informatique car cela permet de calculer la valeur en un point plus rapidement que le méthode "naïve" (a*x²+b*x+c...)
2) une méthode de factorisation de polynômes, que j'ai su passé un temps mais dont je ne me rappelle plus (si Antikhippe pouvait la rappeler...), super rapide et simple.
Alors même si, à mon avis (mais faudrait que je revois la méthode de Hörner de Antikhippe), ces 2 choses sont basées sur le même principe, ce sont bien 2 choses différentes... La première est une astuce d'écriture de polynôme tandis que la deuxième est plus une "recette" pour factoriser... Alors ne commencez pas à vous battre

[Antikhippe]

Ouais, la deuxième est une recette. Il m'est difficile de l'expliquer, mais puisque tu y tiens, Coincoin, je vais quand- même essayer de la décrire.

[Antikhippe]

Voilà la méthode de Hörner :

Bon courage d'avance !!!

Soit P(x) un polynôme de degré n.

Factorisation par la méthode de Hörner.

Exemple : factorisons 3x^3-3x²-7x+2 :
2 solution de P(x) donc P(x)=(x-2)(ax²+bx+c)



................A............. .B..............C............. .D..............E
1............................. ..3..............-3.............-7..............2
2..............2.............. ................6............. ..6..............-2
3............................. .3=a...........3=b..........-1=c..........0



1ère ligne du tableau : coefficients de P(x).

A2=2 car on divise par x-2.
B3=3 car on abaisse le 3 du haut.
C2=A2*B3=6. De même, D2=A2*C3=2*3=6 et E2=A2*D3=2*-1=-2

Ensuite, on ajoute les nombres se trouvant dans une même colonne et on trouve un nombre que l'on inscrit dans la dernière ligne.
C'est-à-dire : B3=B1+B2=3+0=3
De même, C3=C1+C2=-3+6=3
D3=D1+D2=-7+6=-1
E3=E1+E2=-2+2=0
Si E3 est différent de zéro, c'est qu'il y a une erreur.


Enfin, si vous m'avez suivi, on trouve : 3x^3-3x²-7x+2=(x-2)(3x²+3x-1)


Il y a aussi une autre méthode pour la factorisation de polynômes de degré n, c'est la division euclidienne.

[invite6b5754d7]

tu me semble un peu jeune pour parler de HÖRNER! sait tu au moins qui c'est?
cette méthode s'étudie en prépa, pa en première S!
ta mère est elle prof n prépa?[/list]

[Antikhippe]

Je sais mais c'est notre prof de maths, il fait du hors-programme. Nan, ma mère n'est pas prof en prépas.

[invite6b5754d7]

je comprends.tu es fort en math?

[Antikhippe]

Tranquille !!!

[invite778609db]

Cette méthode était encore au programme de 1ere S il y a 3ans.
Je me souvien l'avoir fait, mais je ne serai plus l'utiliser, je developpe tout betement puis indentifie les coefficiants ....

[Theyggdrazil]

C'est bizarre, on me l'a apprise en term et en prépa on m'a dit de l'oublier ^^

[Antikhippe]

Hi,

A mon avis, Theyggdrazil, on t'a dit de l'oublier en prépa, parce que c'est une méthode "culinaire", si j'ose dire. C'est vrai, c'est pas des maths, c'est juste une méthode (qui peut servir pour vérifier...).

[Quinto]

Algorithmiquement c'est celle qui permet de faire le moins de calculs.

[invite778609db]

il y a aussi la division polynomiale si on se souvient comment on pose les divisions comme au CM2

[Antikhippe]

Ouais, il y a la division, mais comme l'a dit Quinto, c'est beaucoup moins rapide !