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Floris · 18/08/2004, 00h36

Bonjour à toutes et a tous.
j'aimerai avoir uen démonstration très claire de la méthode de résolution d'équation du second degré.
Pourquoi pour cacluler delta il fait faire (4*a*c) ???
Pourquoi 4?
Pourquoi a et c et tout le reste.
Je sait que je suis chiant mais je croi qu'il est bon de comprend les choses à fond.
Merci de votre bonne volonté et de votre jentilesse.
Amicalement a tous.
Floris

cricri · 18/08/2004, 01h46

ax2 +bx+c = 0
on va essayer d avoir ca (i+j)2 qui est i2 +2ij + j2 pouquoi parce que c est simple a trouver la solution de (i+j)2 =0
le a nous gene
on multiplie par 4a
4a2x2 +4abx +4ac = 0 on a i2 = 4a2x2 soit i = 2ax 4abx est correct

mais 4ac nous gene et nous manque le j2
on rajoute b2
4a2x2+4abx+b2 = b2 -4ac

on a donc ( 2ax +b)2 = b2-4ac

bon lit la suite ici

**shokin** · 18/08/2004, 02h21

Salut, je vais te répondre ainsi :

Soit une équation du second degré :

ax^2+bx+c=0

a(x^2+(b/a)*x+(c/a))=0 (mise en évidence du a)

a(x^2+2*(b/2a)*x+(c/a))=0 (préparation pour compléter le carré)

a(x^2+2*(b/2a)*x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a))=0 (carré complété)

a((x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+(c/a))=0 (carré factorisé)

a((x+(b/2a))^2-((b^2)/(4a^2))+((4ac)/(4a^2)))=0 (deux fractions au même dénominateur)

a((x+(b/2a))^2-((b^2-4ac)/(4a^2)))=0 (deux fractions en une)

a((x+(b/2a))^2-((((b^2-4ac)^(1/2))^2)/((2a)^2)))=0

a((x+(b/2a))^2-(((b^2-4ac)^(1/2))/(2a))^2)=0 (la forme a^2-b^2)

a(x+(b/2a)+((b^2-4ac)^(1/2))/2a)*(x+(b/2a)-((b^2-4ac)^(1/2))/2a)=0 (la forme (a+b)*(a-b))

a(x+((b/2a)+(b^2-4ac)^(1/2))/2a)*(x+((b/2a)-(b^2-4ac)^(1/2))/2a)=0

D'où les deux solutions :

x1 = (-b+(b^2-4ac)^(1/2))2a

x2 = (-b-(b^2-4ac)^(1/2))2a

Mais c'est pas simple à écrire ainsi.

Si certaines personnes connaissent le Latex, elles pourront te donner des explications plus lisibles.

Shokin

**shokin** · 18/08/2004, 02h24

Voilà des exemples :

http://prof.collegenotre-dame.qc.ca/...ation_quad.htm

j'imagine qu'il y a d'autres méthodes de résolution que je ne connais pas.

Shokin

Floris · 18/08/2004, 15h36

Merci beaucoup à tous.
Merci infiniment
Bien cordialement
Floris

Quinto · 18/08/2004, 17h46

Salut,
il y'a une méthode assez simple:
on pose t=x+b/2a et l'équation devient
p(x)=0 <-> at²-(b²/4a)+c=0 <-> t=+-racine de (b²-4ac)/2a

et donc x=-b/2a+-racine de (b²-4ac)/2a

(d'une manière générale on pose t=x+b/na pour éliminer le terme de degré n-1 d'une équation type polynôme de degré n)

Stephen · 19/08/2004, 16h34

Je vais reprendre ce qu'a fait Chokin, mais avec \latex, pour que ce soit plus lisible.

Tout d'abord, remarquons que si a = 0, alors c'est une équation du premier degré que l'on sait résoudre (si jamais, y'a toujours le Merdix pour apprendre à résoudre les systèmes linéaires en dimension 1

).

On peut donc supposer que a est non nul.

Ainsi, on a la chose suivante : en factorisant par a, on a

$ax^2 + bx + c = 0 \Longleftrightarrow a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = 0$
On fait apparaître un carré parfait :
$ax^2 + bx + c = 0 \Longleftrightarrow a(x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b} {2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a} )= 0$

On factorise ce carré :

$ax^2 + bx + c = 0 \Longleftrightarrow a((x + \frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a} ) = 0$

Ensuite, on écrit $(\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b^2}{4a^2})$ et $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ pour obtenir :

$ax^2 + bx + c = 0 \Longleftrightarrow a((x + \frac{b}{2a})^2-(\frac{b^2}{4a^2})+\frac{4ac}{ 4a^2} )= 0$

Ceci s'écrit sous la forme :

$ax^2 + bx + c = 0 \Longleftrightarrow a((x +\frac{b}{2a})^2-(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}))= 0$

A ce stade, tu vois qu'il faut distinguer les cas :

Si $b^2 - 4ac = 0$ , la solution de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ est bien évidemment $x = -\frac{b}{2a}$
Si $b^2 - 4ac < 0$ , l'expression $(x +\frac{b}{2a})^2-(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})$ est strictement positive (car somme d'un carré et d'un terme strictement positif), on n'a donc pas de solution réelle.
Il nous reste à traiter le cas $b^2 - 4ac > 0$ .

Dans ce dernier cas, on a $b^2 - 4ac = \sqrt{b^2 - 4ac}^2$ . Dès lors, notre expression devient

$a((x +\frac{b}{2a})^2-(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})^2)$

Il suffit d'employer l'identité remarquable $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ pour obtenir

$ax^2 + bx + c = 0 \Longleftrightarrow a(x - \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a})(x - \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a})=0$

Et voilà la solution.

Amicalement,
Stephen

Floris · 19/08/2004, 17h08

Merci infiniment pour votre aide.
Merci aussi pour avoir mis sa en latex.
MERCI
D'ailleur, concernant la méthode d'équation du 3 ou4 eme degré le principe reste le meme non? Mais ces différent. Je vais dabord mediter sa et puis je reviendrai.
Merci encore.
Bien amicalemen
Floris

Floris · 19/08/2004, 21h24

Bonjour, y quelque chose sur le quel je bloque. C'est quand tu dit qu'on vas faire aparaitre un carée parfait, je ne voi pas ce que sa signifie. Et d'ou il aparait l'expréssion 2a ??? Je m'excuse encore du relenti de mon cerveau.
Merci encore J'ai onte de moi!!!

**shokin** · 19/08/2004, 22h23

Floris, tu n'as pas à avoir honte.

le a devient 2a car on veut un double produit. Il suffit de multiplier par 2/2. Le 2 du numérateur est le facteur 2 dans a^2+"2"ab+b^2 qui aide à compléter le carré. Le 2 du dénominateur accompagne le a, d'où 2a.

Pour les équations du troisième degré ou plus, je ne connais pas la méthode générale.

Au fait, Stephen, c'est où que je peux apprendre et utiliser le Latex ?

merci pour le Merdix

Shokin

Quinto · 19/08/2004, 22h50

Tu peux toujours lire ma démo, elle est vraiment courte, et te permet de voir d'où viennent les termes......

Theyggdrazil · 20/08/2004, 06h32

Pour les équations du 3ème et 4ème degré, ça devient beaucoup plus compliqué. Je connais la méthode générale pour les équations du 3ème degré, mais là je rentre du boulot (donc logiquement, s'en-suit le dodo

), je la donnerai cet après-midi si j'arrive à utiliser latex. Pour les équations du 4ème degré, j'ai un papelard qquepart avec 2 méthodes différentes: la méthode de Descartes et la méthode de Ferrarri je crois.

Par contre il n'existe pas de méthode générale pour les équations de degré supérieur ou égal à 5 (Galois l'a démontré).

Stephen · 20/08/2004, 10h44

Citation:

Envoyé par Floris

Bonjour, y quelque chose sur le quel je bloque. C'est quand tu dit qu'on vas faire aparaitre un carée parfait, je ne voi pas ce que sa signifie. Et d'ou il aparait l'expréssion 2a ??? Je m'excuse encore du relenti de mon cerveau.
Merci encore J'ai onte de moi!!!

Y'a pas de problème : c'est normal de s'interroger si tu ne connais pas les termes

Un carré parfait, c'est le développement de l'expression $(a+b)^2$ . Comme tu le sais, ça donne $a^2 + 2ab + b^2$ .

Ainsi, quand je dis faire apparaître un carré parfait, j'entends ajouter et supprimer des termes pour arriver à une expression du genre.

Par exemple, j'ai $a^2 + b^2$ . Ce n'est pas un carré parfait, mais je peux ajouter 0, ou plutôt ajouter $2ab - 2ab$ . Ainsi, ça donne :

$a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 -2ab$ , ce qui donne $(a+b)^2 - 2ab$ . La plupart du temps, c'est simplement une astuce pour identifier des formes connues (ici pour se ramener à $a^2 - b^2$ que l'on sait factoriser comme un produit).

Pour les 2a, j'ai simplement écrit $\frac{b}{a}$ sous la forme $2\frac{b}{2a}$ , encore une astuce pour fait apparaître une forme facilement factorisable.

Citation:

Envoyé par Theyggdrazil

Par contre il n'existe pas de méthode générale pour les équations de degré supérieur ou égal à 5 (Galois l'a démontré).

Presque exact : Galois à montré qu'il n'existe pas de méthode générale basée sur les radicaux (ça vient du fait que $S_n$ n'est pas résoluble en une suite de sous-groupes distingués à quotients abéliens pour $n \geq 5$ )

Amicalement,
Stephen

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