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Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

  1. Floris

    Date d'inscription
    août 2003
    Localisation
    Nantes (mais vous ne saurez pas très précisément ma quantité de mouvement) :)
    Messages
    2 183

    Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Bonjour à toutes et a tous.
    j'aimerai avoir uen démonstration très claire de la méthode de résolution d'équation du second degré.
    Pourquoi pour cacluler delta il fait faire (4*a*c) ???
    Pourquoi 4?
    Pourquoi a et c et tout le reste.
    Je sait que je suis chiant mais je croi qu'il est bon de comprend les choses à fond.
    Merci de votre bonne volonté et de votre jentilesse.
    Amicalement a tous.
    Floris


     


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  2. cricri

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Messages
    922

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    ax2 +bx+c = 0
    on va essayer d avoir ca (i+j)2 qui est i2 +2ij + j2 pouquoi parce que c est simple a trouver la solution de (i+j)2 =0
    le a nous gene
    on multiplie par 4a
    4a2x2 +4abx +4ac = 0 on a i2 = 4a2x2 soit i = 2ax 4abx est correct

    mais 4ac nous gene et nous manque le j2
    on rajoute b2
    4a2x2+4abx+b2 = b2 -4ac

    on a donc ( 2ax +b)2 = b2-4ac

    bon lit la suite ici
     

  3. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    30
    Messages
    8 697

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Salut, je vais te répondre ainsi :

    Soit une équation du second degré :

    ax^2+bx+c=0

    a(x^2+(b/a)*x+(c/a))=0 (mise en évidence du a)

    a(x^2+2*(b/2a)*x+(c/a))=0 (préparation pour compléter le carré)

    a(x^2+2*(b/2a)*x+(b/2a)^2-(b/2a)^2+(c/a))=0 (carré complété)

    a((x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+(c/a))=0 (carré factorisé)

    a((x+(b/2a))^2-((b^2)/(4a^2))+((4ac)/(4a^2)))=0 (deux fractions au même dénominateur)

    a((x+(b/2a))^2-((b^2-4ac)/(4a^2)))=0 (deux fractions en une)

    a((x+(b/2a))^2-((((b^2-4ac)^(1/2))^2)/((2a)^2)))=0

    a((x+(b/2a))^2-(((b^2-4ac)^(1/2))/(2a))^2)=0 (la forme a^2-b^2)

    a(x+(b/2a)+((b^2-4ac)^(1/2))/2a)*(x+(b/2a)-((b^2-4ac)^(1/2))/2a)=0 (la forme (a+b)*(a-b))

    a(x+((b/2a)+(b^2-4ac)^(1/2))/2a)*(x+((b/2a)-(b^2-4ac)^(1/2))/2a)=0

    D'où les deux solutions :

    x1 = (-b+(b^2-4ac)^(1/2))2a

    x2 = (-b-(b^2-4ac)^(1/2))2a

    Mais c'est pas simple à écrire ainsi.

    Si certaines personnes connaissent le Latex, elles pourront te donner des explications plus lisibles.

    Shokin
    Nous sommes libres. Wir sind frei. We are free. Somos libres. Siamo liberi.
     

  4. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    30
    Messages
    8 697

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Voilà des exemples :

    http://prof.collegenotre-dame.qc.ca/...ation_quad.htm

    j'imagine qu'il y a d'autres méthodes de résolution que je ne connais pas.

    Shokin
    Nous sommes libres. Wir sind frei. We are free. Somos libres. Siamo liberi.
     

  5. Floris

    Date d'inscription
    août 2003
    Localisation
    Nantes (mais vous ne saurez pas très précisément ma quantité de mouvement) :)
    Messages
    2 183

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Merci beaucoup à tous.
    Merci infiniment
    Bien cordialement
    Floris
     


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  6. Quinto

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Localisation
    Québec
    Âge
    31
    Messages
    1 796

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Salut,
    il y'a une méthode assez simple:
    on pose t=x+b/2a et l'équation devient
    p(x)=0 <-> at²-(b²/4a)+c=0 <-> t=+-racine de (b²-4ac)/2a

    et donc x=-b/2a+-racine de (b²-4ac)/2a

    (d'une manière générale on pose t=x+b/na pour éliminer le terme de degré n-1 d'une équation type polynôme de degré n)
     

  7. Stephen

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Lausanne
    Messages
    281

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Je vais reprendre ce qu'a fait Chokin, mais avec \latex, pour que ce soit plus lisible.

    Tout d'abord, remarquons que si a = 0, alors c'est une équation du premier degré que l'on sait résoudre (si jamais, y'a toujours le Merdix pour apprendre à résoudre les systèmes linéaires en dimension 1 ).

    On peut donc supposer que a est non nul.

    Ainsi, on a la chose suivante : en factorisant par a, on a


    On fait apparaître un carré parfait :


    On factorise ce carré :



    Ensuite, on écrit et pour obtenir :



    Ceci s'écrit sous la forme :



    A ce stade, tu vois qu'il faut distinguer les cas :
    • Si , la solution de l'équation est bien évidemment
    • Si , l'expression est strictement positive (car somme d'un carré et d'un terme strictement positif), on n'a donc pas de solution réelle.
    • Il nous reste à traiter le cas .
    Dans ce dernier cas, on a . Dès lors, notre expression devient



    Il suffit d'employer l'identité remarquable pour obtenir



    Et voilà la solution.

    Amicalement,
    Stephen
     

  8. Floris

    Date d'inscription
    août 2003
    Localisation
    Nantes (mais vous ne saurez pas très précisément ma quantité de mouvement) :)
    Messages
    2 183

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Merci infiniment pour votre aide.
    Merci aussi pour avoir mis sa en latex.
    MERCI
    D'ailleur, concernant la méthode d'équation du 3 ou4 eme degré le principe reste le meme non? Mais ces différent. Je vais dabord mediter sa et puis je reviendrai.
    Merci encore.
    Bien amicalemen
    Floris
     

  9. Floris

    Date d'inscription
    août 2003
    Localisation
    Nantes (mais vous ne saurez pas très précisément ma quantité de mouvement) :)
    Messages
    2 183

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Bonjour, y quelque chose sur le quel je bloque. C'est quand tu dit qu'on vas faire aparaitre un carée parfait, je ne voi pas ce que sa signifie. Et d'ou il aparait l'expréssion 2a ??? Je m'excuse encore du relenti de mon cerveau.
    Merci encore J'ai onte de moi!!!
     

  10. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    30
    Messages
    8 697

    Talking Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Floris, tu n'as pas à avoir honte.

    le a devient 2a car on veut un double produit. Il suffit de multiplier par 2/2. Le 2 du numérateur est le facteur 2 dans a^2+"2"ab+b^2 qui aide à compléter le carré. Le 2 du dénominateur accompagne le a, d'où 2a.

    Pour les équations du troisième degré ou plus, je ne connais pas la méthode générale.

    Au fait, Stephen, c'est où que je peux apprendre et utiliser le Latex ?

    merci pour le Merdix


    Shokin
    Nous sommes libres. Wir sind frei. We are free. Somos libres. Siamo liberi.
     

  11. Quinto

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Localisation
    Québec
    Âge
    31
    Messages
    1 796

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Tu peux toujours lire ma démo, elle est vraiment courte, et te permet de voir d'où viennent les termes......
     

  12. Theyggdrazil

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Strasbourg
    Âge
    28
    Messages
    340

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Pour les équations du 3ème et 4ème degré, ça devient beaucoup plus compliqué. Je connais la méthode générale pour les équations du 3ème degré, mais là je rentre du boulot (donc logiquement, s'en-suit le dodo ), je la donnerai cet après-midi si j'arrive à utiliser latex. Pour les équations du 4ème degré, j'ai un papelard qquepart avec 2 méthodes différentes: la méthode de Descartes et la méthode de Ferrarri je crois.

    Par contre il n'existe pas de méthode générale pour les équations de degré supérieur ou égal à 5 (Galois l'a démontré).
    Dernière modification par Theyggdrazil ; 20/08/2004 à 06h35.
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)
     

  13. Stephen

    Date d'inscription
    juillet 2004
    Localisation
    Lausanne
    Messages
    281

    Re : Demande de démonstration de méthode de résolution d'équatuon du second degré

    Citation Envoyé par Floris
    Bonjour, y quelque chose sur le quel je bloque. C'est quand tu dit qu'on vas faire aparaitre un carée parfait, je ne voi pas ce que sa signifie. Et d'ou il aparait l'expréssion 2a ??? Je m'excuse encore du relenti de mon cerveau.
    Merci encore J'ai onte de moi!!!
    Y'a pas de problème : c'est normal de s'interroger si tu ne connais pas les termes

    Un carré parfait, c'est le développement de l'expression . Comme tu le sais, ça donne .

    Ainsi, quand je dis faire apparaître un carré parfait, j'entends ajouter et supprimer des termes pour arriver à une expression du genre.

    Par exemple, j'ai . Ce n'est pas un carré parfait, mais je peux ajouter 0, ou plutôt ajouter . Ainsi, ça donne :

    , ce qui donne . La plupart du temps, c'est simplement une astuce pour identifier des formes connues (ici pour se ramener à que l'on sait factoriser comme un produit).

    Pour les 2a, j'ai simplement écrit sous la forme , encore une astuce pour fait apparaître une forme facilement factorisable.

    Citation Envoyé par Theyggdrazil
    Par contre il n'existe pas de méthode générale pour les équations de degré supérieur ou égal à 5 (Galois l'a démontré).
    Presque exact : Galois à montré qu'il n'existe pas de méthode générale basée sur les radicaux (ça vient du fait que n'est pas résoluble en une suite de sous-groupes distingués à quotients abéliens pour )

    Amicalement,
    Stephen
    Dernière modification par Stephen ; 20/08/2004 à 10h48.
     


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