Résolution d'équation du 3ème degré

[kNz]

Bonjour,

Je voulais juste savoir comment on pouvait résoudre une équation du 3ème degré de la forme

Merci beaucoup.

kNz.
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[matthias]

Fais une recherche sur la méthode de Cardan.
Sinon j'ai prévu de poster bientôt un sujet là-dessus dans le forum révisions, mais faudrait que j'ai le courage ...

[Keorl]

Il a été démontré qu'on ne peut pas résoudre les équestions de dégré supérieur ou égal à 3, à moins bien sur de pouvoir facoriser, de trouver des racines évidentes, ou de povoir changer d'indonnue (a+ b*x²+c*x^4 on pose X=x², et pour a+bx^3+cx^6, on pose X=x^3 .....).

Pour les autres équations, c'est à dire la pluspart, il te faudra utiliser une méthode itérative pour te rapprocher des racines:
-tableau de variations pour savoir entre quoi et quoi sont chaqune des racines.
-pour chaque racine:
prendre un a situé avant, un b situé après. f(a) et f(b) de signes différents (on a bien choisi a et b avec le tableau). On prend d=(a+b)/2.
Et on recommence avec a et b l'un remplac&#233; par d, l'autre restant identique, de sorte que f(a1) et f(b1) de signes diff&#233;rents (si f(d)>0 et f(b)<0, on prend au 2eme tour a1=d et b1=b. ...).
Et ce jusqu'&#224; ce qu'on ait trouv&#233; un encadrement de la racine (qui est entre an et bn) suffisemment petit pour ce qu'on veut faire.


Pour aider, il a aussi &#233;t&#233; d&#233;montr&#233; que pour une &#233;quation de d&#233;gr&#233; n il y a au plus n racines.

[Keorl]

"la m&#233;thode de Cardan"?
&#231;a permet les &#233;quations de d&#233;gr&#233; 3?
alors je me suis, tromp&#233;, c'est peut-&#234;tre &#224; partirs du d&#233;gr&#233; 4 qu'on ne peut plus r&#233;soudre.
En effet, maple peut donner les r&#233;sultats pour l'&#233;quation g&#233;n&#233;rale. Mais les formules sont &#233;normes!

d&#233;sol&#233;, mes plus plates excuses

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

Il a été démontré qu'on ne peut pas résoudre les équestions de dégré supérieur ou égal à 3, à moins bien sur de pouvoir facoriser, de trouver des racines évidentes, ou de povoir changer d'indonnue (a+ b*x²+c*x^4 on pose X=x², et pour a+bx^3+cx^6, on pose X=x^3 .....).

Les équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 5 ne sont pas solubles par radicaux.
Pour les degrés 3 et 4 il existe des méthodes qui permettent de se ramener à une ou plusieurs équations de degré inférieur et donc de les résoudre (voir Cardan, Tartaglia, Ferrari, etc).

Il me semble avoir lu dans "La Recherche" que des mathématiciens avaient étudié tous les cas possibles pour des polynômes de degré 5 et 6 et qu'on savait les résoudre, mais j'avoue que je ne vois pas bien en quoi c'est compatible avec la non-solubilité par radicaux ...

[Bleyblue]

C'est intéressant comme sujet.

Je confirme que les éq. polynamiales de degré 3 et 4 sont résolubles par radicaux et qu'il a été démontrer par Abel et Galois que c'était impossible pour les degré plus grand ou égale à 5.

Mais "par radicaux" ça veut dire en n'utilisant que des opérations algébriques élémentaires (+*,-,/ et exctractions de racines)

Je ne connais aucun théorème qui dit qu'à l'aide de fonctions transcendantes par exemple on ne pourrait pas trouver une formule générale qui nous fournisse les solutions d'une équations polynômiale de degré n > 4

Sinon pour la méthode de Cardan moi je veux bien la poster ici (+ explications) si ça intéresse quelqu'un mais pas maintenant car je vais pas tarder à aller me coucher

[kNz]

Bonjour,

Oui moi ! ça m'intéresse BleyBlue !

J'ai déjà compris le principe général lorsque j'ai été voir sur wikipédia, mais j'ai parfois du mal pour trouver les racines finales, donc si il pouvait y avoir une petite explication pour un néophyte

Merci.

Cordialement.

[inviteae71f3fb]

Il y aurait peut être moyen en factorisant et en trouvant une sorte de forme cannonique mais c'est long .

[matthias]

Pour factoriser, il faut déjà avoir une solution. Les méthodes sont un peu plus subtiles que ça
Je vais faire un effort pour poster un sujet ce weekend.

[g_h]

Hello,

Pour la méthode de Cardan, voici un article où je trouve que c'est très bien expliqué !

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan
(à partir de "principe de la méthode")

[invite3c81b085]

Il a été démontré qu'on ne peut pas résoudre les équestions de dégré supérieur ou égal à 3

Supérieur ou égal à 4.
J'ai du démontrer la méthode pour le quatrième degré, alors, je suis sûr qu'elle existe

Mais il a démontré par Galois et Abel qu'au dessus du quatrième degré, les polynomes ne sont pas solubles par radicaux.

BleyBlue le confirmera

[invite3c81b085]

BleyBlue le confirmera

Désolé, j'avais pas tout lu

[martini_bird]

Salut,

Je ne connais aucun théorème qui dit qu'à l'aide de fonctions transcendantes par exemple on ne pourrait pas trouver une formule générale qui nous fournisse les solutions d'une équations polynômiale de degré n > 4

A l'aide d'un nouveau symbole (dont je ne me souviens pas de la définition) ou des fonctions elliptiques on peut résoudre les équations de degré 5.

Ceci étant, c'est un problème bougrement intéressant de savoir si l'ajout d'une seule fonction permettrait d'exprimer toutes les solutions d'équations algébriques! (mon petit doigt me dit que ce n'est pas possible, mais il a rarement raison )

Cordialement.

[invitec01a4ae8]

J'ai un petit cours en pdf sur le sujet.
Voilà l'url :

http://files.filefront.com/deg3pdf/;.../fileinfo.html

Dites-moi si y a un problème pour le téléchargement.

[Bleyblue]

Ah excusez moi mais il se fait que j'avais totalement oublier ce topic (d'où le retard de ma réponse )

Alors :

Oui moi ! ça m'intéresse BleyBlue !

Si ça t'intéresse toujours je peux poster mais apparament c'est assez bien expliqué sur Wikipédia

A l'aide d'un nouveau symbole (dont je ne me souviens pas de la définition) ou des fonctions elliptiques on peut résoudre les équations de degré 5.

Ah pas mal ça
Les fonctions elliptiques j'ai déja vaguementrentendut parler (ça intervient dans la démonstration du théorème de Fermat non ?)

[invite90d7007e]

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à résoudre cette équation :
2x^3+x²-8x-3=0
Merci d'avance.

[abdoupac]

Il a été démontré qu'on ne peut pas résoudre les équestions de dégré supérieur ou égal à 3, à moins bien sur de pouvoir facoriser, de trouver des racines évidentes, ou de povoir changer d'indonnue (a+ b*x²+c*x^4 on pose X=x², et pour a+bx^3+cx^6, on pose X=x^3 .....).

Pour les autres équations, c'est à dire la pluspart, il te faudra utiliser une méthode itérative pour te rapprocher des racines:
-tableau de variations pour savoir entre quoi et quoi sont chaqune des racines.
-pour chaque racine:
prendre un a situé avant, un b situé après. f(a) et f(b) de signes différents (on a bien choisi a et b avec le tableau). On prend d=(a+b)/2.
Et on recommence avec a et b l'un remplacé par d, l'autre restant identique, de sorte que f(a1) et f(b1) de signes différents (si f(d)>0 et f(b)<0, on prend au 2eme tour a1=d et b1=b. ...).
Et ce jusqu'à ce qu'on ait trouvé un encadrement de la racine (qui est entre an et bn) suffisemment petit pour ce qu'on veut faire.


Pour aider, il a aussi été démontré que pour une équation de dégré n il y a au plus n racines.

ce quil faudré demontrer C quil nyaura dor et deja auc1e equation irresoluable
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...e_degr.C3.A9_3

[breukin]

Attention à la signification de "algébrique". C'est un concept abstrait, qui conduit à extraires des racines cubiques de nombre complexes (pour la méthode de Cardan).
Mais si l'on veut calculer explicitement par radicaux les parties réelles et imaginaires des racines cubiques, alors on retombe en boucle sur le même problème.
Pour les équations de degré 3 à coefficients réels, la méthode de Cardan ne donne un résulat avec radicaux réels que dans le cas d'une racine réelle. Lorsqu'il y a trois racines réelles, elle amène à calculer des racines cubiques de nombres complexes.
En revanche, dans ce dernier cas, il y a une résolution trigonométrique qui founit les 3 solutions réelles sous forme d'arc cos, mais ce n'est plus algébrique par radicaux.

Soit x³+x²/2–4x–3/2 = 0
On pose x=y–1/6 pour supprimer le terme du second degré.
D'où y³–49y/12–89/108 = 0 si je n'ai pas fait d'erreur (y³ + py +q = 0).

On a 4p³+27q² = –254 sauf erreur.

On a donc 3 racines réelles, mais les formules de Cardan sont inapplicables dans les réels, car il faut calculer les racines cubiques de : 89/216 ± (i/6) √(254/3)

[invite91724928]

Slt les cerveaux , C'est juste la chance que les mathematiciens ont pu resoudre l'equation de 2 iem degré , ils ont pu detruir le coeur de l'expression ax²+bx+c le coeur c ( bx ) puisque une transformation nous ramene à la forme a(X²-T) par contre le coeur de lexpression aX^3+bx²+cx+d impossible de detruir le coeur bx²+cx il nya pa une methode generale canonique, la solution existe mai elle refuse de se devoiler pas des nombres qui n'arrivent pas à l'exprimer. j'ai fait de recherches en ça jai trouvé il fout formater l'ensemble R et la reinstaller , il ya des erreur surement que les sciientifikes ont laissé passé ne pensez pas à resoudre ce genre dequations avec les donnés actuelles c juste des approximations vous devez pensez à inventer de nouveaux nombres qui peuvent exprimer cette povre solution qui ne trouve pas son image .imaginez qu on pe resoudre nimporte equation meme ax^9+bx^8+....... ça sera une revolution puisque la solution de ces equations va ameleoreer surement les autres recherches en physike chimie ...... c'est un grand secret , pourtant on pe eleminer le coeur partiellement de nimporte kelel equation ça va juste simplifier ça ve dire x^3+bx²+cx+d peut se transformer soit à X^3+iX+j ou Y^3+eY²+f avec sous des conditions , meme les autres equations de grandes degré peuvent etre simplifiés mai tjr la solution canonike reste inconnue , en ce cas il reste 2 methodes que je conseille les chercheurs de suivre sils veulent trouver la solution des equations superieur ou egals 3 . la premiere est de supposer la forme de la solution comme le cas du 2iem degré la forme est ( i-j ou i+j) . bonne chance

[Nox]

Bonjour,

c'est un grand secret

Effectivement vu la manière obscure dont cela est présenté on comprend que ça relève du secret ... Serait-il possible d'avoir une réponse détaillée et pédagogique plutôt qu'un message à demi ironique se terminant par un :

bonne chance

dont on se demande l'utilité ...

Cordialement,

Nox