Probabilités

[invite62bc11da]

Bonjour tout le monde. Ca fait 5 ans que je n'ai pas retouché aux probabilités voici mon problème avec ce que j'ai fait:

Un automobiliste rencontre sur son trajet n feux tricolores(n supérieur ou égal à 2) numérotés de 1 à n. Chacun de ces feux peut au moment où l'automobiliste arrive être rouge orange ou vert. les n feux sont identiques et indépendants les uns des autres.

k appartenant de 1 à n

Rk : le kième feu est rouge au moment où l'automobiliste arrive
Ok : le kième feu est orange au moment où l'automobiliste arrive
Vk : le kième feu est orange au moment où l'automobiliste arrive
A: tous les feux sont verts
B : aucun feu n'est vert
C : au moins un feu est au rouge
D : exactement est feu est au rouge

Question 1:
Que vaut la somme P(Rk)+P(Ok)+P(Vk)
Ma réponse 1

Question 2:
Pour n=3 Décomposer A,B,C,D à l'aide des évènements Rk,Ok,Vk k appartenant de 1à3
Ma réponse: A=V1+V2+V3
B= V1 barre +V2 barre +V3barre
C= R1ouR2ouR3ouR1+R2+R3ouR1+R2ouR 2+R3ouR1+R3
D=R1ouR2ouR3

Question 3:
Généraliser avec n
Ma réponse: A=somme de k allant de 1à n de Vk
B =somme de k allant de 1à n de Vkbarre
C :?
D=Rk

Question4:
soit r, v, les proba de feux vert et feux rouge
Donner P(A), P(B),P(C),P(D)
Ma réponse:
P(A)=v^n
P(B)=(1-v)^n
P(C)=somme pour k allant de 1à n de (kparmin).(r^k).((1-r)^(n-k))
P(D)=(1parmi n). r.[(1-r)^(n-1)]

Question 5:

pour tt k appartenant de 1 à n, on note Xk la variable aléatoire qui vaut 1si le kième feu est orange ou rouge et 0 si le feu est vert. On note X le nbre de fois que l'automobiliste s'arrête sur son trajet
Qu'elle est la loi de proba de la variable aléatoire Xk
Ma réponse : binomiale
Exprimer X en fction des Xk qu'elle est la loi de proba de la variable aléatoire? qu'elle est l'espérance mathématique de X?
Ma réponse : X = somme des Xk= n*somme de (k parmi n). (1-v)^k.(v^(n-k))

Pouvez vous 'il vous plait me corriger et m'aider la où je n'y arrive pas merci pour votre patience.
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[ansset]

je n'ai pas tout lu.
mais à la question 2, je ne comprend pas tes additions.
la probabilité de l'evenement A ET l'evènement B n'est pas une addition mais une multiplication.
on additionne quand c'est OU pas ET !

[invite62bc11da]

je n'ai pas tout lu.
mais à la question 2, je ne comprend pas tes additions.
la probabilité de l'evenement A ET l'evènement B n'est pas une addition mais une multiplication.
on additionne quand c'est OU pas ET !

C'est parce que c'est pas leur probabilité qu'on me demande mais d'exprimer ces évènements selon les évènements Vk,Ok et Rk

[invite62bc11da]

Bonjour qqun peut il m'aider s'il vous plait? Ca ne devrait pas demander bcp de tps je pense. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rhodes77]

Un petit coup de pouce parce que moi aussi y a longtemps que j'ai fait des probas.
Dejà, je ne suis pas d'accord sur le cas "au moins un feu est au rouge". Tu dis que c'est donné par Rk, j'aurais plutôt dit que la probabilité de l'événement vaut 1 - la proba qu'aucun soit rouge. Càd l'événement "l'ensemble de tous les événement privé de l'événement Tous les feux sont rouges" (c'est super clair !)
Du coup la proba de "au moins un feu est rouge" est, selon moi, 1-r^n (ce qui doit etre bien plus grand que r, ce qui semble conforter ma proposition).
Puisque c'est une loi binomiale (rouge ou pas rouge), la proba d'un seul feu rouge vaut (1 parmi n).r^1.(1-r)^(n-1), c'est d'accord pour P(D).
Enfin, la loi binomiale c'est ok, son espérance aussi mais il me semble qu'on peut pousser le calcul plus loin (à l'aide de la formule du binôme de Newton) de sorte que : l'espérance d'une loi binomiale de proba p et d'un échantillon n vaut n*p (voir Wiki pour plus de détails)
Voilà ! (je crois...)

[invite62bc11da]

attention évènement C: au moins un feu est rouge : je n'ai pas su l'exprimer au rang n

Mon Rk pour moi ce sont les évènements possibles pour le D :exactement un feu est rouge c'est a dire soit on a R1 ou R2.. ou Rk k appartenant à n. attention ca n'est pas la probabilité mais la décomposition d'évènements.
Pour ce qui est de la proba de au moins un feu est rouge qui est
P(C). tu me dis 1-r^n .Je ne pense pas puisque r^n c'est r.r.r....r c'est à dire que on aura n fois le feu rouge ca veut dire r^n c'est la proba de se payer tt les feux rouges donc 1-r^n c'est la proba de ne pas se payer tt les feux rouges qui n'est pas la proba de se prendre au moins un feu rouge tu vois mon raisonnement?

[invite62bc11da]

Excuse moi j'ai oublié une partie. Pour la dernière question on ne me demande pas l'espérance. C X qu'il faut trouver. Je pense que tu es daccord avec moi que X=somme des Xk. Après la formule que je mets normalement c'est égale à n car ma somme vaut 1 (binome de Newton)et c'est bien la mon pbm, c'est que c'est impossible que ce soit n.

[Rhodes77]

Oups ! erreur de lecture ET de raisonnement ! 1-r^n est la proba que "au moins un feu n'est pas rouge" or on cherche "au moins un feu n'est ni orange ni vert".
La proba "aucun feu n'est rouge" est (o+v)^n=(1-r)^n. "Au moins un feu est rouge" est donc donné par 1-(1-r)^n . C'est juste cette fois je pense ( ? ).

Par contre il y a toujours un truc qui ne colle pas pour D seulement moi. Dans le cas n=3, tu dis D=R1 ou R2 ou R3. Ne faut-il pas plus précisément dire : D= (R1 et R2bar et R3bar) ou (R1bar et R2 et R3bar) ou (R1bar + R2bar + R3) ? Pour n'avoir qu'un feu rouge exactement, il faut que l'un soit rouge ET que tous les autres ne le soient pas.

[Rhodes77]

Pour le calcul de X, tu fais la somme des Xk (qui valent 0 ou 1), je suis d'accord, mais après ton deuxième signe =, tu fais la somme des probaibilités des Xk... Et je ne comprends pas d'où sort ton facteur n.
Ah et tu demandes bien l'espérance dans ton premier post

[invite62bc11da]

tu as raison pour le P(C) bien joué! Pour l'évènement D je vois xce que tu veux dire! Tu as surement raison! C'est une histoire de rédaction mais on se comprend donc ca va. Mais je pense quand meme que tu as raison et que je dois rajouter les barres.
A tu une idée pour décomposer l'évènementC au moins un feu est rouge. On est daccor sur sa proba mais pour le décomposer?
Et l'histoire de la dernière question qu'en penses tu?

[Rhodes77]

Pour décomposer C, je traduirais en événement la proba qu'on a trouvée. Si Omega est l'ensemble des événements, alors :
C= Omega \ {R1 et R2 et R3 et... et Rn}
Pour ce qui est de la dernière question, à mon sens X=som(Xk) et basta. La suite de ton calcul amène à P(X) et non pas à X.
Et pour finir, l'espérance de X est celle d'une loi binomiale : E(X)=n*(1-v).

[invite62bc11da]

bé en fait mon raisonnement été le suivant je veux avoir le nbre de fois qu'il sarrete sur son chemin (X) donc = le nbre de feu*la probabilité de se le prendre
A oui ok pr l'espérance je l'avais trouvée sur wiki aussi.

[invite62bc11da]

Ok pour ce que tu as dis. Je ne pensais pas qu'on pouvait "soustraire" les évènements. Merci bcp.
Pour la loi de la probabilité de la variable aléatoire X à mon sens c'est la probabilité qu'on se prenne X arrêts?
Mais en fait ca ne serait pas simplement (1-v)^X. (v^(n-X))?

[Rhodes77]

Humm... oui P(X) cest bien ça, au combinatoire près devant : P(X)= (X parmi n) (1-v)^X.v^(n-X). Car seule la loi de probabilité de X est binomiale. La loi de probabilité des Xk est donnée par p(Xk=1)=r+o et p(Xk=0)=v.
On va y arriver !!!!

[invite62bc11da]

lol j'allais le rajouter le X parmi n bon bé cool on a tout réussi. Super je te dis un grand merci ! Avec mes frères qui sont encore plus agés que moi on y été pas arrivé (les proba on y retouchent pas en prépa! ni en ecole d'ingé!). Est ce quèe ca te dérange si je te pose une autre question sur un autre exo(pas des proba). C'est juste une question. A mon avis c'est tout bête mais j'y arrive pas et personne ne m'avait répondu.

[Rhodes77]

Ah ben nan nan vas-y envoie. Mais je garantis pas de savoir lol