Somme d'une infinité de termes

[verdae31]

Bonjour,

je n'arrive pas à comprendre, que la somme d'une infinité de termes puisse avoir une valeur finie.

Ex: 0.5+0.25+0.125+.... donne 1

Pourrait-on m'expliquer ?

Merci
-----

[Médiat]

je n'arrive pas à comprendre, que la somme d'une infinité de termes puisse avoir une valeur finie.

Tous les nombres non décimaux peuvent s'écrire très facilement et très naturellement comme la somme d'une infinité de termes tous non nuls, par exemple :
1/3 = 0,3 (la partie soulignée est la partie qui se répète infiniment)
1/3 = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...

Vous pouvez aussi regarder le paradoxe de Zénon d"Elée : à chaque pas que vous faite, il vous faut parcourir la moitié de la taille de ce pas, puis la moitié de la moitié, puis la moitié de la moitié de la moitié, puis ...

Il faut une infinité de termes pour terminer un seul pas.

[danyvio]

L'exemple de Zénon d'Elée donné par Mediat répond parfaitement à la question.

[verdae31]

C'est justement ce paradoxe que je cherche a comprendre !
Le fait qu'il y est une infinité de terme entraine obligatoirement l'inexistence d'un dernier terme (qui serait zero) ?
Par conséquent je ne comprends pas comment on peut écrire que la somme d'un nombre infini de terme soit finie ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

C'est justement ce paradoxe que je cherche a comprendre !
Le fait qu'il y est une infinité de terme entraine obligatoirement l'inexistence d'un dernier terme (qui serait zero) ?
Par conséquent je ne comprends pas comment on peut écrire que la somme d'un nombre infini de terme soit finie ?

Merci

plutôt que d'additonner , on peut faire autrement
je prend un fil très très fin de 1m de long que je peux couper à loisir.
je le coupe en deux
je coupe une des moitiés en 2,
je recoupe un des quarts en 2, etc , etc, etc.....
il reste toujours un bout de fil , et je peux continuer à couper eternellement.
mais la longueur initiale n'a pas changée.

[verdae31]

Merci,
le problème est donc sur le terme "infini" qui dans une situation réelle n'a pas de sens car pas réalisable, d'ou le paradoxe d'achille et la tortue (un des paradoxe de Zenon d'élée) .

C'est la différence entre la théorie mathématique et la réalité physique, qu'en pensez-vous ?

[verdae31]

Merci,
le problème est donc sur le terme "infini" qui dans une situation réelle n'a pas de sens car pas réalisable, d'ou le paradoxe d'achille et la tortue (un des paradoxe de Zenon d'élée) .

C'est la différence entre la théorie mathématique et la réalité physique, qu'en pensez-vous ?

Es-ce exact ?

[erik]

Merci,
le problème est donc sur le terme "infini" qui dans une situation réelle n'a pas de sens car pas réalisable, ....

C'est la différence entre la théorie mathématique et la réalité physique, qu'en pensez-vous ?

Les maths se contrefoutent de la réalité.
Ce n'est pas leur but (de décrire la/une réalité), au contraire c'est un outil qui permet justement de manipuler des concepts du genre "infini" qui n'ont a priori pas de sens dans "une situation réelle".

Si tu veux trouver encore plus "choquant" fait une recherche sur le paradoxe de Banach Tarski.