Analyse de fonction, fonction logarithme népérien

[invitee7b07b2b]

Bonjour voilà j'ai un exercice à faire pas très compliqué pour l'instnat mais je trouve des resultats un peu compliqués j'aimerais avoir un peu d'aide s'il vous plait voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infini[ par :
f(x)= ln x - (1/ln x ) .
On nomme (C) la courbe représentative de f et T la courbe d'équation y=ln x dans un repère orthogonal (O;i.j ).
1. Etudier les variations de la fonction f et preciser les limites en 1 et en +infini.

je trouve que f'(x)= [(x (ln x)^2)+x]/[x^2 (ln x)^2] c'est un peu compliqué non ?
car après je cherche en quelle valeur cela vaut 0 forecement je me retrouve avec (ln x)^2 = -1 ce qui est improbable car un carré est toujours positif. et ensuite je trouve que cela est positif quand (ln x)^2 >1 fin je trouve mes resultats un peu bizarre j'ai du me tromperr dans la dérivée non ????
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[Jeanpaul]

Ca serait déjà plus simple si tu simplifiais par x, mais à part ça, c'est juste.
Personne n'a dit que la dérivée s'annulait quelque part.

[invitee7b07b2b]

oui mais ça c'est moi qui regarde pour savoir si c'est positif si c'est négatif et si ça s'annule, à quel endroit. Pour ensuite trouver les variations de f(x). donc apparemment tout est bon alors ???

[invitee7b07b2b]

Ensuite il me demande :
2,a. Determiner lim ( x->+infini ) de [f(x)- ln x ]. Interpreter graphiquement cette limite.
b. Preciser les positions relatives de (C) et de T.
3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C) passant par le point 0.
a. Soit ALPHA un réel appartenant à l'intervalle ]1;+infini[.
Demontrer que la tangente Ta à (C) au point d'abscisse ALPHA passe par l'origine du repère si, et seulement si, f(a)-f'(a)=0.
Soit g la fonction define sur l'intervalle ]1;+infini[ par :
g(x)=f(x)-xf'(x).
b. Montrer que sur ]1;+infini[, les equations :
g(x)=0 et (ln x)^3-(ln x)^2-(ln x)-1= 0 .

2. J'ai trouver que la lim=0 que donc l'axe des abscisses était asymptote à la courbe.
b. (C) est au dessous de T;
3,a. c'est bon j'ai reussi avec l'aquation de la tangente.
b. PAr contre là ça bloque j'arrive à resoudre aucune des 2 equations :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Tu as oublié un morceau de la phrase, il doit manquer "sont équivalentes".
As-tu calculé la différence qui donne g(x) ? L'expression compliquée avec les ln(x) n'est rien d 'autre que le numérateur de cette différence.
Attention aux erreurs de calcul.

[invitee7b07b2b]

ah oui c'est bon je m'etais trompée dans le calcul de g(x) ! Mais est-ce que ensuite je dois calculer les solutions de ces deux equations (fin d'une seule vue que ce sont les memes ) ou je montre juste que les deux equations ont les memes solutions car elles sont equivalentes ? ? ?
car la fin de la question que jai oublié c'est " ont les memes solutions " ???

[Jeanpaul]

Dire qu'elles sont équivalentes, c'est dire qu'elles ont les mêmes solutions, qu'on ne te demande d'ailleurs pas de calculer, semble-t-il.

[invitee7b07b2b]

Ils me demandent ensuite :
c. Après avoir etudié les variations de la fonction u définie sur R par u(t)= t^3-t^2-t-1, montrer que la fonction u s'annule une fois, et une seule, sur R.
d. En deduire l'existence d'une tangente unique à la courbe (C) passant par le point 0. La courbe (C) et la courbe T sont données en annexe en fin d'enoncé.
Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.
4. On considere un réel m et l'equation f(x)=mx d'inconnue x.
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette equation appartenant à l'intervalle ]1;10].



je trouve que la solution unique est comprise entre 1,84 et 1,842 mais je vois pas comment je determine l'équation de la tangente ??? donc du coup je suis génée pour la suite

[Jeanpaul]

Dans ton cours, tu as dû voir que l'équation de la tangente en a à une courbe y = f(x) est :
y - f(a) = f'(a) (x - a)
Si elle passe par l'origine, que se passe-t-il ?
Dans ce cas précis, quelle équation vérifie a ? (Ce sont les questions précédentes, sauf que tu t'es trompée en recopiant la formule)

[invitee7b07b2b]

ah d'accord mais voilà j'ai toujours du mal je confond toujours le a et le x dans l'equation de la tangente :s . là x=0 ???! fin je suis perdue :s

[Jeanpaul]

Le point A sur la courbe a pour coordonnées [a ; f(a)]. Le point courant sur la droite tangente en A a pour coordonnées [x ; y], il varie. L'idée c'est de faire en sorte que si x=0 et y=0, l'équation de la droite soit satisfaite.