Taux de variation d'une fonction

**Joe l indien** · 30/03/2010, 16h34

ndFlyingsquirrel : Discussion créée à partir de message postés dans ce fil.

Merci à tous.
J'ai pu continuer les exercices grâce à vos éclaircissements.

J'aimerais toutefois à nouveau solliciter vos connaissances (et votre patience) car j'en suis arrivé dans mon cours au taux de variation d'une fonction sur un intervalle et j'éprouve quelques problèmes pratiques pour avancer dans la matière.

Pour plus de clarté dans mes explications, ci-dessous, j'ai inclus une photo du cours et du problème rencontré. Mon incompréhension touche à l'interprétation graphique du taux de variation.

Ainsi, dans un des exemples du cours, pour la fonction f(x) = x^2 (le cours précise toutefois que cela correspond à une parabole), je ne comprends pas comment l'on détermine en abscisse la position de "x".

De la même manière, si vous regardez un autre exemple en photo ci-dessous, je ne comprends pas comment est déterminée la position de "x" sur le graphique pour la fonction f(x) = sqrt x.

Seriez-vous en mesure de pouvoir éclairer ma lanterne ?

### image supprimée ###

**Flyingsquirrel** · 30/03/2010, 16h46

Bonsoir,

Joe l indien, j'ai supprimé votre image car elle est

beaucoup trop lourde (plus de 1 Mo !!) ;
hébergée sur un serveur extérieur.

Merci de reposter une image moins lourde en prenant soin de la mettre en pièce jointe (icône

).

**Joe l indien** · 30/03/2010, 16h48

Ok désolé j'ai redimensionné l'image.

**Plume d'Oeuf** · 30/03/2010, 18h34

Bonjour,

En réalité le point X d'abscisse x est positionné aléatoirement. On pourrait reformuler la phrase en dessous du graphique de la manière suivante: "Soit le point du graphique de f d'abscisse 1 et X un autre point du graphique de f, choisi aléatoirement, d'abscisse x".

Le taux de variation, quand à lui, représente la variation d'une quantité par rapport à la variation d'une autre quantité (souvent la variation d'une fonction par rapport à celle de sa variable).

Par exemple prenons une fonction f(x) définie pour tout x réel, et deux points d'abscisses $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , tels que $\text{[math]}$ , et d'ordonnées respectives $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . On appelle $\text{[math]}$ le taux de variation de $\text{[math]}$ entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors:

$\text{[math]}$

Cette notion de taux de variation est très importante car elle conduit directement à la notion de dérivée, qui est par la suite quasiment omniprésente dans les mathématiques.

Bon courage!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Joe l indien** · 30/03/2010, 18h47

Envoyé par Plume d'Oeuf

Bonjour,

En réalité le point X d'abscisse x est positionné aléatoirement. On pourrait reformuler la phrase en dessous du graphique de la manière suivante: "Soit le point du graphique de f d'abscisse 1 et X un autre point du graphique de f, choisi aléatoirement, d'abscisse x".

Ah ben voilà ! merci. C'est ce que je pensais mais je préfère être certain

**Joe l indien** · 30/03/2010, 19h29

Pour compléter le module, je dois résoudre 3 exercices.
Je crois avoir juste pour l'un d'entre eux.
Mais je ne vois pas comment simplifier les fractions pour les deux autres.

Si quelqu'un pouvait passer en revue les étapes de simplification des deux exercices qui me posent problème ça me serait d'une grande aide car je suis au point mort !

Je dois calculer le taux de variation dans l'intervalle [0,5 x], x>0,5 de :

1) f1(x) = -1/2x^2

(pour celui-là je m'embrouille) et en voulant simplifier j'obtiens :

{-1/2x^2 - (-1/4)} / x - 1/2 = {1/4 (1 - 2x^2)}/ x - 1/2

==> donc en fait j'essaye de simplifier mais je ne vois pas où cela mène...

2) f2(x) = 2 sqrt x

Celui-ci par contre je pense l'avoir juste et la simplification "fonctionne" mieux car ça me donne :

{2(sqrt x - sqrt 1/2)} / (sqrt x - sqrt 1/2) (sqrt x + sqrt 1/2)
= 2 / (sqrt x + sqrt 1/2)

3) f3(x) = 1/3 x^2

Là je m'embrouille avec des dénominateurs 1/12 or je ne suis pas sûr que ce soit la marche à suivre...

**Plume d'Oeuf** · 30/03/2010, 20h37

Pour la première fonction, je ne comprends pas ce que c'est:

$\text{[math]}$

ou bien:

$\text{[math]}$

Pour la seconde, pas de problème.

Pour la troisième, si c'est bien $\text{[math]}$ , essaye quelque chose de ressemblant à la seconde...

Bon courage!

**Joe l indien** · 30/03/2010, 20h49

1) $\text{[math]}$

2) $\text{[math]}$

==> j'ai bien tenté pourtant mais je ne trouve pas

**Paminode** · 31/03/2010, 08h15

Bonjour Joe,

Ces deux exercices ne présentent pourtant pas de difficulté.
Le numérateur du taux d'accroissement présente une différence de deux carrés :
x² - (1/2)²
Le taux d'accroissement est donc de la forme :
(a² - b²)/(a - b)
Ce qui donne ?
Les coefficients -1/2 et 1/3 ont juste à être ajoutés devant. Ils ne jouent aucun rôle particulier.

Paminode

**Paminode** · 31/03/2010, 08h30

Envoyé par Joe l indien

1) f1(x) = -1/2x^2

(pour celui-là je m'embrouille) et en voulant simplifier j'obtiens :

{-1/2x^2 - (-1/4)} / x - 1/2 = {1/4 (1 - 2x^2)}/ x - 1/2

==> donc en fait j'essaye de simplifier mais je ne vois pas où cela mène...

3) f3(x) = 1/3 x^2

Là je m'embrouille avec des dénominateurs 1/12 or je ne suis pas sûr que ce soit la marche à suivre...

Pour compléter ce que j'ai écrit au-dessus, vous ne devez pas faire les calculs en développant (1/2)² et en multipliant par les coefficients (-1/2) et 1/3.
Cela ne conduit qu'à vous embrouiller, et vous faire faire des erreurs de calcul (ce n'est pas 1/4 mais 1/8).
Ne développez pas (1/2)² , laissez les coefficients (-1/2) et 1/3 "inertes" devant l'expression du taux d'accroissement, et travaillez sur les identités remarquables comme pour l'exercice 2) f₂(x) = 2 $\text{[math]}$

**Paminode** · 31/03/2010, 08h38

Juste un conseil :
Pour simplifier votre écriture, et vous rendre plus facile à lire :
1) pour les puissances, au lieu d'écrire x^2, utilisez l'icône X²
2) pour écrire f_n(x), utilisez l'icône X₂
3) pour écrire les racines :
a) tapez \sqrt{x}
b) sélectionnez
c) cliquez sur l'icône T_EX

Paminode

**Joe l indien** · 31/03/2010, 12h26

ça va toujours pas

$\text{[math]}$

= $\text{[math]}$

or je ne vois pas comment dans ce cas je peux laisser la parenthèse inchangée. enfin bref, j'arrive à ceci

$\text{[math]}$

je suis nul !

**Paminode** · 31/03/2010, 13h12

C'est bien cela !
$\text{[math]}$ = -1/2[x²-(1/2)²]/(x-1/2)
C'est bien de la forme :
$\text{[math]}$ (a²-b²)/(a-b)
Et ça fait combien, (a²-b²)/(a-b) ?
Je vous signale que vous l'avez utilisé à l'envers dans le calcul du taux de f₂, c'est à dire sous la forme :
(a-b)/(a²-b²)
Le $\text{[math]}$ , ou le -1/2, n'intervient pas. Il se contente "d'être là".

Paminode

**Plume d'Oeuf** · 31/03/2010, 15h02

Envoyé par Paminode

C'est bien cela !
Le $\text{[math]}$ , ou le -1/2, n'intervient pas. Il se contente "d'être là".

Quand on écrit le taux d'accroissement, cette constante apparaît devant chaque terme du numérateur: on peut donc la mettre en facteur.

Bon courage!

**Paminode** · 31/03/2010, 18h05

Envoyé par Plume d'Oeuf

Envoyé par Paminode

C'est bien cela !
Le $\text{[math]}$ , ou le -1/2, n'intervient pas. Il se contente "d'être là".

Quand on écrit le taux d'accroissement, cette constante apparaît devant chaque terme du numérateur: on peut donc la mettre en facteur.

Exactement. Une fois que vous avez mis en facteur et donc extrait le coefficient -1/2 ou 1/3 de f(x)-f(1/2),
c'est-à-dire du numérateur de $\text{[math]}$ , il n'intervient plus.

Envoyé par Joe l indien

$\text{[math]}$

Vous avez donc "sorti" 1/2 mais gardé le -. Pourquoi ?
C'est l'ensemble (-1/2) qu'il faut mettre en facteur et "sortir" du numérateur pour appliquer ensuite les identités remarquables.

Paminode

**Joe l indien** · 31/03/2010, 19h42

je dois vraiment être borné car malgré tous vos indices, j'obtiens :

$\text{[math]}$

**Joe l indien** · 31/03/2010, 19h51

et après ?

$\text{[math]}$

or $\text{[math]}$ mais le dénominteur est : $\text{[math]}$

donc je ne vois pas du tout le rapport

puisque si je fais la racine du dénominateur je n'obtiendrai une parenthèse identique à celle du numérateur ...

**Joe l indien** · 31/03/2010, 19h54

ah non en me relisant je vois l'erreur !

c'est x et pas sqrt x au numérateur.

**Joe l indien** · 31/03/2010, 19h58

Donc ma réponse serait :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

(?)

**Joe l indien** · 31/03/2010, 20h08

Pour l'autre exercice :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**Paminode** · 31/03/2010, 21h10

Voilà.
Tau = (-1/2)(x+1/2) dans un cas, et 1/3 (x+1/2) dans l'autre.
C'est plus élégant de laisser les résultats sous forme factorisée.
Cela n'apporte rien de développer.
Et n'oubliez pas d'indiquer qu'il s'agit de Tau, et non de simplement jeter les calculs sans écrire devant "Tau = ".

Paminode

**Joe l indien** · 31/03/2010, 22h43

Merci pour votre aide cela me permet de boucler un devoir et de passer au module suivant.

En réalité, c'était vraiment simple mais le problème est que je n'ai plus fait de maths depuis ma sortie du lycée il y a 9 ans (donc ce n'est plus du tout frais dans ma tête).

Ce forum m'est d'un grand secours car lorsque je bloque dans mes cours (par correspondance) il n'y a pas de prof pour aider et à part les quelques exercices corrigés (trop peu nombreux) du cours, je n'ai pas vraiment d'autre recours !

**Paminode** · 01/04/2010, 11h48

Alors n'hésitez pas !

Paminode

Taux de variation d'une fonction

Taux de variation d'une fonction

Re : représenter une droite de type y =-x+1 dans repère orthonormé

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Re : Taux de variation d'une fonction

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