Voila j'ai décidé (comme beaucoup) de réviser le bac de math en faisant des exercices d'annales, mais la malheurs, je ne trouve pas la correction sur internet et il n'y a pas écrit d'où le sujet provient.
Donc j'aimerais juste savoir si mes résultats sont juste =)
Les premières questions sont :
Pour tour naturel non nul n, on pose :
In=(intégral de 0 a pi/4) tann x dx
1a) Justifier l'existence de In.
b) Sans calculer In, Montrer que la suite (In)n Є N est une suite décroissante dont tous les termes sont positifs.
2a) Pour tout entier naturel n, calculer la dérivée de la fonction x-> tann+1x
En déduire que pour tout n de N*, In+In+2= 1/(n+1).
b) Montrer que pour tout n de N*, 1/(2(n+1))< In <1/(n+1)
c) En déduire la limite de la suite (In)n Є N* lorsque n tend vers +inf.
d) Calculer f(n)= In+4-In en fonction de n, où n Є N*
Bon la, je ne pense pas avoir fait d'erreur surtout que les résultats sont donnés.
Je trouve à la 2)d) : f(n) = -2 / ((n+3)(n+1)) soit f(n) = 1/(n+3) - 1/(n+1).
Pour la suite:
3.a. "Calculer I2"
J'ai fait :
I(0) + I(2) = 1 donc
I(2) = 1 - (pi/4)
C'est bon??
b.
Calculer f(2)+f(6)+f(10)+...+f(4k-2) en fonction de I(2) et I(4k+2).
Je trouve : I(4k+2)-I(2)
c.
En déduire la limite de la somme :
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... - 1/(4k-1) + 1/(4k+1)
Donc c'est aussi 1-I(4k+2)+I(2), non?
Quand k>+inf on a bien la somme qui tend vers 1+I(2) soit 2-(pi/4)?
Sachant que I(n) tend vers 0 quand n>+inf
Bon après il reste une autre question que je posterais plus tard si cela est déjà juste =)
Merci beaucoup d'avance!
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