Formule d'Euler : démonstration sans Taylor

[invite00e7f0bd]

Bonjour,

Comment fait-on pour démontrer la formule d'Euler, sans la série de Taylor?
En effet, pour démontrer le dévellopement de Taylor (avec les variables complexes), il faut justement la formule d'Euler...
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[silk78]

En fait ça dépend de quoi tu pars et de ce que tu entends pas exponentielle. Visiblement, tu ne la définis pas comme somme infinie (grâce à son développement de Taylor). Donc peut-être que ton exponentielle est la solution de l'équation différentielle y'=y avec exp(0)=1.

Si c'est le cas, alors je rappelle qu'on prouve facilement que la solution de y'(x)=a*y(x) qui vaut k en 0 est k*exp(ax).

Revenons à

On a

On retrouve donc une équation différentielle de la forme y'=ay avec a=i. On a donc
f(0)=cos(0)+isin(0)=1 donc k=1.
Donc

CQFD.
Par contre pour que ça marche, il faut que ton équation différentielle porte sur C et non sur R.

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

On peut très bien se passer de la formule d'Euler pour démontrer que les développements en séries entières des fonctions holomorphes coïncident avec le cas complexe des séries de Taylor. Cauchy l'a fait le premier en utilisant ses formules intégrales (cf ChronoMath). Dans ces conditions la démonstration par les séries de Taylor des formules d'Euler prend tout son sens.

Néanmoins, comme l'a fait remarquer silk78, on peut aussi se passer de ces développements.

[Lelouch]

En fait ça dépend de quoi tu pars et de ce que tu entends pas exponentielle. Visiblement, tu ne la définis pas comme somme infinie (grâce à son développement de Taylor). Donc peut-être que ton exponentielle est la solution de l'équation différentielle y'=y avec exp(0)=1.

Si c'est le cas, alors je rappelle qu'on prouve facilement que la solution de y'(x)=a*y(x) qui vaut k en 0 est k*exp(ax).

Revenons à

On a

On retrouve donc une équation différentielle de la forme y'=ay avec a=i. On a donc
f(0)=cos(0)+isin(0)=1 donc k=1.
Donc

CQFD.
Par contre pour que ça marche, il faut que ton équation différentielle porte sur C et non sur R.

Une petite précision : Ce n'est pas une démonstration de la formule mais une des raison qui a pousser les mathématiciens a définir l'exponentielle complexe de la sorte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Hmmm, où est le problème : est-ce que l'exponentielle complexe ne peut pas être définie ainsi ? ou est-ce que peut-être on ne peut pas faire ce genre d'équation différentielle sur C (même si je suis quasiment sur que l'on peut) ? est-ce que l'on ne peut pas dériver une fonction complexe ainsi ? est-ce totalement autre chose ?

Merci d'avance pour la réponse

[Lelouch]

Quand tu a trouvé les solutions de l’équation différentiel y'=ay , a était un rel car l'exponentielle n’était défini que pour des valeurs réels.

[silk78]

Oui mais si on définissait exp comme l'unique fonction vérifiant l'équation y'=y dans C et y(0)=1 ?

[adhalam]

Il existe 2 méthodes pour la démonstration soit par les séries de Taylor soit par le calcul différentiel, elles sont exposées sur wikipedia

lien:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_d'Euler

[Plume d'Oeuf]

Non en fait il en existe plus.

Par exemple considérons la fonction f de la variable réelle x et à valeurs dans C telle que f(x) = (1+ix/n)ⁿ, n naturel.

Alors ln(f(x)) = n.ln(1+ix/n) ~ ix quand n tend vers l'infini. On obtient donc formellement e^ix comme limite quand n tend vers l'infini de f(x) = (1+ix/n)ⁿ. Or pour n grand le nombre complexe 1+ix/n correspond sensiblement au point du cercle trigonométrique d'argument x/n, donc f(x) = (cos(x/n)+i.sin(x/n))ⁿ.

De Moivre: f(x) = cos(x) + i.sin(x).

Donc cos(x) + i.sin(x) = e^ix puisque n grand.

Ceci fait néanmoins intervenir le développement de Taylor de la fonction ln(1+X) au voisinage de 0.

cf ChronoMath

[Lelouch]

Non en fait il en existe plus.

Mais il n'y aucune démonstration , c'est juste une définition qui est rendu légitime par les "constatations" que vous avez révélés. C'est d'ailleurs normal puisqu'au départ exp(x) n'est défini que pour des réel, je vois mal a voir comment on peut démontrer qu'on peut utiliser exp(z) avec z complexe !

Pour vous en convaincre:
http://euler.ac-versailles.fr/baseeu...tion.jsp?id=75
http://www.bibmath.net/formulaire/complexe2.php3

Je peux vous en trouvez beaucoup plus ..
Au fait si vous tapez "démonstration formule euler" dans google ou quelque chose du genre vous verrez cette discussion parmi les premiers résultat .. Je vous laisse déduire

[Lelouch]

Je viens de trouver un document for intéressant:
http://www.math.wisc.edu/~angenent/F...lexnumbers.pdf

Ce qui nous intéresse commence vers la fin de la page 6 - début page 8. Il explique notamment pourquoi les séries de Taylor (que je ne connais pas) ne sont pas une démonstration. J’espère qu'avec cela il n'y aura plus de doute

[Plume d'Oeuf]

Mais il n'y aucune démonstration , c'est juste une définition qui est rendu légitime par les "constatations" que vous avez révélés. C'est d'ailleurs normal puisqu'au départ exp(x) n'est défini que pour des réel, je vois mal a voir comment on peut démontrer qu'on peut utiliser exp(z) avec z complexe !

En effet, sauf que toutes les "constatations" amènent au même résultat. Par conséquent on admet ce résultat comme définition de l'exponentielle complexe.

Il ne faut pas oublier dès que l'on passe au monde complexe, on évolue avec des nombres qui n'ont plus de signification concrète. Ainsi quand Bombelli a exprimé ses solutions imaginaires aux polynômes d'ordre 3, il a bien supposé que (-1) soit le carré d'un nombre complètement abstrait, sans raison à priori, si ce n'est de vouloir trouver des solutions supplémentaires.

De la même manière dans toutes les démonstrations données de la formule d'Euler, à un moment donné on multiplie la variable réelle par une constante abstraite.

Une fois cette étape franchie, tous les calculs nous font retomber sur la formule d'Euler, ce qui permet de l'admettre comme définition de l'exponentielle complexe.

C'est d'ailleurs de cette manière que l'on procède pour étendre toute fonction à l'ensemble des complexes: on se dit "et si la variable était complexe?"

La question cependant est digne d'intérêt.

Bonne continuation.

[arkeis]

Bonjour, désolé de vous déranger pour si peu.

Lorsque l'on a f'(x) = -sin (x) + icos(x) et que l'on factorise par i, ne devrait-on pas trouver i (-sin(x)/i +cos x ?
Merci de m'expliquer

[gg0]

Bonjour.

C'est une factorisation peu intéressante, il faut transformer la division par i pour éviter d'avoir une forme inintéressante. Donc multiplie haut et bas par le conjugué de i, -i, et tu retrouveras ce qui t'est proposé.

Cordialement.

NB : Une factorisation se vérifie facilement en développant.

[arkeis]

Désolé et merci, j'oublie des trucs évidents quand je suis fatigué :/ Du style i² = -1 ^^

[Chanur]

Il ne faut pas oublier dès que l'on passe au monde complexe, on évolue avec des nombres qui n'ont plus de signification concrète.

Ni plus ni moins que les nombres réels.
Un point d'un plan euclidien (nombre complexe) n'a ni plus ni moins de signification concrète qu'un point d'une droite euclidienne (nombre réel).