DM Maths 1ère S

[Rajayal]

Bonsoir alors j'ai un DM de maths pour lundi et je ne comprends pas trop ce qu'il faut faire.
Alors on me dit "Dans le plan rapporté à un repère orthogonal,on considère la parabole P d'équation y=x^2-6x+10 et une droite d non parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point I(4;-2).On se propose de déterminer le nombre de positions de d pour lesquelles d et P ont un seul point d'intersection."
1)Construire la figure en utilisant Géogebra. Émettre une conjecture.
Alors pour celui là j'ai fais ça.Pièce jointe 349936 et pour la conjecture j'ai écris d'après le graphique sur le logiciel Géogebra il y a une seule position ou la droite d et P se croisent .La droite d et P on un point d'intérsection sur les coordonnés (2;2).(J'arrive pas à mettre l'image pour me justifier).
2)Montrer qu'une droite d'équation y=ax + b passe par I si et seulement si b=-2-4a. et là j'ai pas compris ce qu'il faut enfin je sais pas comment montrer qu'une droite d'équation passe par un point ?
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[Rajayal]

S'il vous plait j'ai besoin d'aide car après celui-là j'ai le 3) qui est encore pire

[phys4]

Bonjour,
Pour la question 1, il faut remarquer qu'une droite quelconque passant par I, coupe la parabole en deux points, sauf si la droite est tangente à la parabole et n'a alors qu'un seul point de contact.
Il existe donc deux solutions.
Pouvez vous montrer que pour le point d'intersection trouvé, la pente de le droite est aussi celle de la parabole ?

Pour la question 2, monter qu'une droite passe par un point c'est vérifier que les coordonnées du point vérifient l'équation de la droite.
A plus.

[Rajayal]

Bonjour,
Pour la question 1, il faut remarquer qu'une droite quelconque passant par I, coupe la parabole en deux points, sauf si la droite est tangente à la parabole et n'a alors qu'un seul point de contact.
Il existe donc deux solutions.
Pouvez vous montrer que pour le point d'intersection trouvé, la pente de le droite est aussi celle de la parabole ?

Pour la question 2, monter qu'une droite passe par un point c'est vérifier que les coordonnées du point vérifient l'équation de la droite.
A plus.

Euh je n'ai pas encore étudier la droite tangente donc je ne sais pas c'est quoi mais je vais aller faire une recherche pour voir ce que c'est...et pour la 2) comment je dois procéder ? Merci ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Mettre dans l'équation de la droite y = a*x + b les coordonnées de i = (4,-2) c'est :
-2 = a *4 + b

ce qui vous donne l'expression demandée.

Si vous avez étudié les équations du second degré, vous pouvez associer la notions de tangente à la notion de racine double.
Vous écrivez l'équation des intersections de la droite avec la parabole
x2 - 6*x + 10 = a*x - 2 - 4a
Puis vous recherchez les valeurs de a qui conduisent à une racine double et ne donneront qu'une seule valeur de x.
Vous aurez ainsi les deux valeurs de a qui définissent une tangente à la parabole.

[Rajayal]

Mettre dans l'équation de la droite y = a*x + b les coordonnées de i = (4,-2) c'est :
-2 = a *4 + b

ce qui vous donne l'expression demandée.

Si vous avez étudié les équations du second degré, vous pouvez associer la notions de tangente à la notion de racine double.
Vous écrivez l'équation des intersections de la droite avec la parabole
x2 - 6*x + 10 = a*x - 2 - 4a
Puis vous recherchez les valeurs de a qui conduisent à une racine double et ne donneront qu'une seule valeur de x.
Vous aurez ainsi les deux valeurs de a qui définissent une tangente à la parabole.

Merci de votre aide voici ce que j'ai écrit:
1)La droite d passant par I,coupe la parabole en deux points mais lorsque la droite d tend vers le I la parabole n'a qu'un seul point de contact avec la droite d.
2)Pour montrer que la droite d'équation passe par I on fait:y=-2 et x=4 donc -2=4a+b et puis on fait -2-4a=b ce qui équivaut à l'équation donner.
C'est ce que j'ai fais et après on me demande...
3)Justifier que les abscisses des points d'intersections de cette droite avec la parabole P sont les solutions de l'équation inconnue x suivante: x*2-(6+a)x+12+4a=0 (E) pour résoudre ça il faut que je trouve a ?Mais le problème c'est qu'il y a deux a et je sais pas comment l'isoler
Merci d'avance.

[jacknicklaus]

pour résoudre ça il faut que je trouve a ?.

non, (pas encore).
pour obtenir l'équation du 2nd degré demandée, relisez soigneusement le post #5 de phys4, lignes 5 et 6. Tout est écrit.

[phys4]

3)Justifier que les abscisses des points d'intersections de cette droite avec la parabole P sont les solutions de l'équation inconnue x suivante: x² -(6+a)x+12+4a=0 (E) pour résoudre ça il faut que je trouve a ?Mais le problème c'est qu'il y a deux a et je sais pas comment l'isoler .

La troisième question est la suite logique du problème :
l'équation donnée est bien celle de l'intersection de la parabole et dela droite de pente a.
Dans l'équation en x: x² -(6+a)x +12 +4a=0 il faut considérer a comme un paramètre.

la résolution en x demande le calcul du discriminant : (6+a)² -4*(12+4a) = a² - 4a -12
Si ce discriminant est nul alors il y aura une racine double en x, donc la droite sera une tangente.
Il faut donc maintenant résoudre a² - 4a -12= 0

Par chance les racines sont évidentes et nous donnent les deux pentes a = -2 et a = 6
Pour chacune de ces droites l'équation en x devient :
x² - 4*x + 4 = 0 soit (x - 2)² = 0
et
x² -12*x + 36 = 0 soit (x - 6)² = 0
Ce sont bien les racines doubles qui nous donnent les points de tangence de chaque droite.

[Rajayal]

La troisième question est la suite logique du problème :
l'équation donnée est bien celle de l'intersection de la parabole et dela droite de pente a.
Dans l'équation en x: x² -(6+a)x +12 +4a=0 il faut considérer a comme un paramètre.

la résolution en x demande le calcul du discriminant : (6+a)² -4*(12+4a) = a² - 4a -12
Si ce discriminant est nul alors il y aura une racine double en x, donc la droite sera une tangente.
Il faut donc maintenant résoudre a² - 4a -12= 0

Par chance les racines sont évidentes et nous donnent les deux pentes a = -2 et a = 6
Pour chacune de ces droites l'équation en x devient :
x² - 4*x + 4 = 0 soit (x - 2)² = 0
et
x² -12*x + 36 = 0 soit (x - 6)² = 0
Ce sont bien les racines doubles qui nous donnent les points de tangence de chaque droite.

Ah j'ai compris merci beaucoup ^^

[Rajayal]

La troisième question est la suite logique du problème :
l'équation donnée est bien celle de l'intersection de la parabole et dela droite de pente a.
Dans l'équation en x: x² -(6+a)x +12 +4a=0 il faut considérer a comme un paramètre.

la résolution en x demande le calcul du discriminant : (6+a)² -4*(12+4a) = a² - 4a -12
Si ce discriminant est nul alors il y aura une racine double en x, donc la droite sera une tangente.
Il faut donc maintenant résoudre a² - 4a -12= 0

Par chance les racines sont évidentes et nous donnent les deux pentes a = -2 et a = 6
Pour chacune de ces droites l'équation en x devient :
x² - 4*x + 4 = 0 soit (x - 2)² = 0
et
x² -12*x + 36 = 0 soit (x - 6)² = 0
Ce sont bien les racines doubles qui nous donnent les points de tangence de chaque droite.

Ah vous avez oublié de me dire si c'étais bon pour la 1 et 2 car j'ai peur que la rédaction ne soit pas exacte.
Merci.

[Rajayal]

La troisième question est la suite logique du problème :
l'équation donnée est bien celle de l'intersection de la parabole et dela droite de pente a.
Dans l'équation en x: x² -(6+a)x +12 +4a=0 il faut considérer a comme un paramètre.

la résolution en x demande le calcul du discriminant : (6+a)² -4*(12+4a) = a² - 4a -12
Si ce discriminant est nul alors il y aura une racine double en x, donc la droite sera une tangente.
Il faut donc maintenant résoudre a² - 4a -12= 0

Par chance les racines sont évidentes et nous donnent les deux pentes a = -2 et a = 6
Pour chacune de ces droites l'équation en x devient :
x² - 4*x + 4 = 0 soit (x - 2)² = 0
et
x² -12*x + 36 = 0 soit (x - 6)² = 0
Ce sont bien les racines doubles qui nous donnent les points de tangence de chaque droite.

Enfaîte après avoir relus j'ai pas compris quelques détailsar exemple comment de x^2-(6+a)x+12+4a=a^2-4a-12 vous etes passer à (6+a)^2-4(12+4a)=a^2-4a-12 (et j'ai pas compris d'où viens le 12).Et pour calculer le discriminant c'est bien DELTA=b^2-4ac ?Et dans mon cours si le DELTA=0 il y a écrit qu'il y a 1 seule racine donc je suis un peu confus...

[phys4]

Enfaîte après avoir relus j'ai pas compris quelques détailsar exemple comment de x^2-(6+a)x+12+4a=a^2-4a-12 vous etes passer à (6+a)^2-4(12+4a)=a^2-4a-12 (et j'ai pas compris d'où viens le 12).Et pour calculer le discriminant c'est bien DELTA=b^2-4ac ?Et dans mon cours si le DELTA=0 il y a écrit qu'il y a 1 seule racine donc je suis un peu confus...

Je vais développer plus lentement :

nous partons de (6+a)²-4(12+4a) qui est bien le discriminant de l'équation en x, en effectuant cela donne
36 + 12a + a² - 48 - 16 a maintenant nous regroupons et classons les termes en puissance de a
a² + (12a - 16a) -(48 -36) soit
a² - 4a - 12

Pour l'équation en x nous voulons trouver les tangentes, donc une seul racine, il faut donc que le discriminant trouvé soit nul, ce qui revient à résoudre :
a² - 4a - 12 = 0

Je pense que vous êtes débutant avec ces nouvelles notions : tangente à une courbe, racine double et aussi la manipulation des équations du second degré avec paramètres.
Je vous souhaite de savoir faire seul le prochain problème de ce type.

[Rajayal]

Je vais développer plus lentement :

nous partons de (6+a)²-4(12+4a) qui est bien le discriminant de l'équation en x, en effectuant cela donne
36 + 12a + a² - 48 - 16 a maintenant nous regroupons et classons les termes en puissance de a
a² + (12a - 16a) -(48 -36) soit
a² - 4a - 12

Pour l'équation en x nous voulons trouver les tangentes, donc une seul racine, il faut donc que le discriminant trouvé soit nul, ce qui revient à résoudre :
a² - 4a - 12 = 0

Je pense que vous êtes débutant avec ces nouvelles notions : tangente à une courbe, racine double et aussi la manipulation des équations du second degré avec paramètres.
Je vous souhaite de savoir faire seul le prochain problème de ce type.

Oui en effet je viens de rentrer en 1èreS et toutes ses notions me sont inconnues on avait vu juste le discriminant mais on a jamais parler de tangente ou de équation de 2nd degré avec paramètres.Donc je vais vous dire ou je bloque désolé d'insister mais c'est encore très flou dans ma tete alors en gros vous avez fait DELTA=b^2-4ac c'est ça ? Et c'est à partir de là que je comprend pas comment vous avez touvé b a et c.

[phys4]

en gros vous avez fait DELTA=b^2-4ac c'est ça ? Et c'est à partir de là que je comprend pas comment vous avez touvé b a et c.

dans l'équation en x : x^2-(6+a)x+12+4a = 0
les termes fixes de l'équation sont les coefficients de puissances de x, et c'est pour cela que les termes sont regroupés en puissance de x
coefficient de puissance 2 = 1
coefficient de puissance 1 = -(6+ a)
coefficient de puissance 0 = 12 +4a

Ca devient limpide ?

[Rajayal]

Ah c'est bon j'ai compris votre développement mais sans votre aide j'aurais jamais pu trouver que c=12+4a...
Donc là faut que je trouve le discriminant de a^2-4a-12=0 donc je fais (4a)^2-4*a*-12=16a^2-48a mais j'y arrive pas faut que je me débarrasse du a
16a^2-48a=0 du coup là je factorise ?

[Rajayal]

dans l'équation en x : x^2-(6+a)x+12+4a = 0
les termes fixes de l'équation sont les coefficients de puissances de x, et c'est pour cela que les termes sont regroupés en puissance de x
coefficient de puissance 2 = 1
coefficient de puissance 1 = -(6+ a)
coefficient de puissance 0 = 12 +4a

Ca devient limpide ?

Oui j'ai compris mais la prof elle nous a jamais enseigné cette méthode.

[Rajayal]

dans l'équation en x : x^2-(6+a)x+12+4a = 0
les termes fixes de l'équation sont les coefficients de puissances de x, et c'est pour cela que les termes sont regroupés en puissance de x
coefficient de puissance 2 = 1
coefficient de puissance 1 = -(6+ a)
coefficient de puissance 0 = 12 +4a

Ca devient limpide ?

Désolé je suis fatigué je fais n'importe quoi c'est bon j'ai trouvé que le discriminant de a^2-4a-12 est égale à 64 donc il y a 2 racines c'est -2 et 6. Du coup après ça j'ai fini il va juste falloir que je valide ou non ma conjecture.

[Rajayal]

C'est bon j'ai tout compris merci de votre patience mais c'est sur que j'aurais jamais pu faire cet exercice sans de l'aide faut vraiment que je me mette au travail !

Allez bonne soirée

[Rajayal]

Ah eh une dernière question du coup quel est le nombre de position de d pour lesquelles d et P ont un seul point d'intersection ?

[phys4]

Ah eh une dernière question du coup quel est le nombre de position de d pour lesquelles d et P ont un seul point d'intersection ?

Les deux valeurs de a trouvées et celles la seulement !

[phys4]

une dernière question du coup quel est le nombre de position de d pour lesquelles d et P ont un seul point d'intersection ?

Cette question peut être plus complexe qu'il n'y parait.
A part les deux tangentes il y a une droite particulière qui correspond à une valeur infinie de la pente et n'apparait pas dans la solution algébrique. La droite x = 4 passant par I, coupe la parabole en un seul point.

C'est une solution limite est contestable d'un certain point de vue, car elle a le même point à l'infini que la parabole, et l'on pourrait dire que le second point d'intersection est rejeté à l'infini.

[ansset]

Ah c'est bon j'ai compris votre développement mais sans votre aide j'aurais jamais pu trouver que c=12+4a...
Donc là faut que je trouve le discriminant de a^2-4a-12=0 donc je fais (4a)^2-4*a*-12=16a^2-48a mais j'y arrive pas faut que je me débarrasse du a
16a^2-48a=0 du coup là je factorise ?

bonjour,
attention, tu démarres avec une erreur sur le calcul du discriminant car ici a est la variable, ( avec une petite erreur de signe en plus )
donc le discriminant vaut
(-4)²-4(-12)=16+48=64=8²
ce qui te donne deux valeurs de a pour lesquelles l'équation de départ de l'intersection des deux courbes donne une racine double.
qui est la "signature" que les deux courbes ( la courbe et la droite pour être précis ) sont tangentes.

[ansset]

La droite x = 4 passant par I, coupe la parabole en un seul point.
.

re-
je crois que dans l'énoncé, on exclut les droites parallèles à l'axe des y.

[phys4]

En effet, cela lève l’ambiguïté.

Il n'y a pas a se poser le problème du point à l'infini de la parabole qui dépasse largement le niveau d'études concerné.

[Rajayal]

Oui j'ai oublié le "-" du coup le discriminant c'est 64 et pas (6+a)^2-4(12+4a) c'est ça ?
Mais bizarrement même en changeant cela j'arrive à retrouver les valeurs de a=-2 et a=6

[ansset]

je ne sais à quel polynôme tu fais référence.
64 est bien le discriminant pour le dernier polynôme en a

[Rajayal]

Bonjour,
Bah pour trouver 64 j'ai appliqué le discriminant avec a^2-4a-12=0 avec a=1,b=-4 et c=-12 DELTA=b^2-4ac=16+48=64 j'ai juste là non et aprèsj'ai trouver les 2 valeurs de a 6 et -2

[phys4]

Si vous arrivez à la forme simple
a² - 4a - 12 = 0
le discriminant de cette nouvelle équation est purement arithmétique car cette fois a est l'inconnue et il n'y a plus de paramètre.
Il faut bien comprendre que a paramètre (pente de la droite) pour l'équation en x, n'en est plus un, pour sa propre équation.

D = 42 + 4*12 = 16 + 48 = 64
Racines : a = (4 +/- 8)/2
Ce que je n'avais pas fait avant, quand je vois une équation comme celle là j'écris directement les racines, l'une était déjà connue et le produit vaut -12 !

[Rajayal]

Si vous arrivez à la forme simple
a² - 4a - 12 = 0
le discriminant de cette nouvelle équation est purement arithmétique car cette fois a est l'inconnue et il n'y a plus de paramètre.
Il faut bien comprendre que a paramètre (pente de la droite) pour l'équation en x, n'en est plus un, pour sa propre équation.

D = 42 + 4*12 = 16 + 48 = 64
Racines : a = (4 +/- 8)/2
Ce que je n'avais pas fait avant, quand je vois une équation comme celle là j'écris directement les racines, l'une était déjà connue et le produit vaut -12 !

Ca veut dire qu'il y a qu'un seul a ? Je ne comprend pas enfaîte les 2 solutions de a que j'ai trouvé 6 et -2 vous les avait multiplié pour que sa donne a=6 *-2 =-12 j'avoue que je suis perdu là je trouve que l'exercice est un peu trop poussé alors qu'on est au début de l'année...mais j'ai pas compris à quoi me sert le -12 ?

[phys4]

Nos derniers mails se sont recoupés, je suis content de voir que vous avez trouvé seul.

Une propriété des équations du second degré que vous apprendrez bientôt :

l'équation qui s'écrit a² - S*a + P = 0
est telle que S est la somme des racines et P le produit des racines.

Avec un peu d'habitude, il est possible de voir les racines directement.