Un petit problème de probabilité

[invite65ab951a]

Bonjour,
Je ne suis plus lycéen depuis quelques années mais toujours féru de math, alors je fais parfois des exercices par pur amusement. Mais voilà, je suis trop mauvais en probabilité , et je voudrais que quelqu'un m'aide à résoudre ce problème qui me parait bien compliqué, mais qui est peut être "du gâteau" pour certains d'entre vous

Enoncé : Un basketteur débutant lance un ballon vers un panier. A chaque lancé, il n'a que 35% de chances réussir. On décide de le récompenser de 10 Eur à chaque fois qu'il réussit 3 paniers (pas forcément consécutifs). Sachant qu'on ne lui donne droit qu'à 9 lancers, les questions sont :
- quelles sont ces chances de gagner au moins 10 Eur ?
- quelle somme moyenne d'argent peut-il espérer gagner ?

Voilà, j'ai lu les cours de probabilité sur les équations binomiales, mais je n'arrive pas à résoudre ce problème (surtout la deuxième question ).

Merci pour votre aide
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[Cherchell]

Félicitations pour tes centres d'intérêts !

On a une succession de 9 lancers supposés indépendants, chaque lancer a deux issues : il est bon avec une probabilité 0,35
il est raté avec une probabilité q = 0,65
donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de lancers réussis suit une loi binomiale de paramètres 9 ; 0,35
Le joueur gagne au moins 10 euros lorsqu'il marque au moins 1 panier donc
p = p (X >= 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0,65 ⁹

La somme moyenne qu'il peut espérer gagner est l'espérance de X donc égale à 9 * 0,35 = 3.15 euros

[invite65ab951a]

Merci Cherchell pour ta réponse rapide

Mais dans ta solution, tu cites "Le joueur gagne au moins 10 euros lorsqu'il marque au moins 1 panier", mais en fait c'est chaque fois qu'il en marque 3, d'où la difficulté je pense.

J'avais trouvé la loi binomiale P(X=k) = C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
et je l'avais appliquée avec les paramètres p=0.35, n=9 et k=3, soit
P(X=3)=C(9,3)*(0.35^3)*(0.65^6 ) = 0.27

J'avais pris k=3 car je pensais que c'était ce qui représentait le postulat "récompenser de 10 Eur à chaque fois qu'il réussit 3 paniers". Je pensais qu'il fallait au moins 3 réussites (d'où k=3), et d'où le 0.35^3 ? Mais le chiffre de 0.27 me paraissait faux car sur 9 lancers à 0.35% de réussite, comment on peut avoir seulement 27% d'avoir 3 lancers réussit ?

De plus, comme il faut cumuler ces 3 paniers pour avoir une récompense, il ne peut gagner plus de 3 récompenses sur les 9 lancers, exact ? Mais peut-on pour autant dire que la moyenne des réussites est de 1.5 récompenses, et donc de 15 Eur, sans faire de calcul ?

Je ne connais pas l'espérance de X, mais je vais me renseigner
Sinon, es-tu sûr que c'est 3.15 Eur, car je ne vois pas comment tu obtiens cela sans tenir compte des 10 Eur énoncé ?

[pallas]

en fait c'est le au moins qui coince en effet il gagne au moins 10 euros si il reussit 3 paniers ou plus sur les 9 ( soit 3 ou 4 ou 5 ou 6 etc..) donc il ne perd que pour 0 ou 1 ou 2 donc .. tu as la conclusion 1- ( p(x=0)+p(x=1)+p(x=2))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite65ab951a]

Merci pour ces explications complémentaires Pallas

[Elie520]

- quelle somme moyenne d'argent peut-il espérer gagner ?

Tu es sûr qu'il ne manque rien à ton énoncé ? Parce que comme dans tous les cas soit il gagne soit il ne perd rien, il peut espérer gagner une infinité de sous en jouant une infinité de fois

[ansset]

bonjour,
mais je ne comprend pas bien vos reponses.
la proba de gagner "au moins 10 euros" correspond à celle de reussir au moins 3 paniers.
si on chercher toutes les solution à 3 , 4,5 paniers etc...on a pas fini.
raisonnons à l'envers.
ne pas gagner 10 euros est celle d'en marquer 2 ou moins.
celle d'en marquer aucun :
(0,65)^9
celle d'en marquer 1 seulement :
(0,65)^8 * (0,35) * 9 ( car il y a 9 combinaisons possibles )
celle d'en marquer 2 seulement :
(0,65)^7 * (0,35)^2 * 36 ( 36 combinaisons )
en additionnant les 3 on trouve:
0,3378 , ce qui est sa possibilité de perdre .
donc reponse
1-0,3378 =0,6622

la deuxième question est plus hard !
j'y jette un oeil

[ansset]

en appliquant la même methode mais en prenant tous les cas de figure ,
j'arrive à une moyenne de 7,15 euros !

[Elie520]

en appliquant la même methode mais en prenant tous les cas de figure ,
j'arrive à une moyenne de 7,15 euros !

Ah, donc dans ce cas, la question est mal posée, c'est plutôt quelle somme moyenne d'argent peut'il espérer gagner à chaque série.

[ansset]

Ah, donc dans ce cas, la question est mal posée, c'est plutôt quelle somme moyenne d'argent peut'il espérer gagner à chaque série.

exact, mais par defaut, je l'ai compris comme ça ! c'est à dire sur 9 lancer successifs

[Plume d'Oeuf]

Pwët!

Ah, donc dans ce cas, la question est mal posée, c'est plutôt quelle somme moyenne d'argent peut'il espérer gagner à chaque série.

Non la question est très bien formulée: d'après l'énoncé le joueur a droit à une série de 9 lancers, ni plus ni moins .

Sachant qu'on ne lui donne droit qu'à 9 lancers, les questions sont :
- quelles sont ces chances de gagner au moins 10 Eur ?
- quelle somme moyenne d'argent peut-il espérer gagner ?

[Elie520]

mouais... pour moi, c'est bizarre, j'aurais préféré qu'il y ait quelque chose de plus à la fin de la phrase pour lever toute ambiguïté

[invite65ab951a]

Bonjour à tous, et merci pour votre aide

En revoyant les différentes réponses, et en me renseignant un peu sur l'Espérance mathématiques, je pense que Cherchell avait quasiment la bonne réponse à la question 2.

En effet, il avait calculé 9*0.35 = 3.15, hors comme c'est une réussite pour 3 paniers (et pas une réussite à chaque panier), ça donnerait plutôt (9/3)*0.35 = 3*0.35 =1.05 réussites.

La somme gagnée serait de 1.05 * 10 = 10.5 eur sur les 9 lancers.

Est-ce exact ?

[pelkin]

On décide de le récompenser de 10 Eur à chaque fois qu'il réussit 3 paniers (pas forcément consécutifs). Sachant qu'on ne lui donne droit qu'à 9 lancers, les questions sont :
- quelles sont ces chances de gagner au moins 10 Eur ?
- quelle somme moyenne d'argent peut-il espérer gagner ?

Bonjour

Si il y a un problème du côté de l'énoncé selon les réponses fournies.

Il a 10 euros CHAQUE FOIS qu'il réussit TROIS paniers. Rien ne nous dit s'il gagne 1 ou 2 ou 3 euros supplémentaires pour 1 ou 2 paniers de plus.

Il peut donc faire :

soit 3 paniers sur neuf, d'où 10 euros
soit 6 paniers sur neuf, d'où 20 euros
soit neuf paniers sur neuf, d'où 30 euros

Le calcul revient donc à faire la proba de faire 3, 6 ou 9 paniers sur 9

Et il n'a droit qu'à UNE série de NEUF paniers.

Des résultats à 3,5 euros ou 7,5 euros sont une aberration puisqu'il aura soit 10 euros minimum, soit rien.

La moyenne sur une seule série de neuf paniers n'a pas de sens, traduite en euros.

Bonne journée

[Plume d'Oeuf]

Bonjour.

Il est clair que faire une moyenne sur trois valeurs pondérées, cela n'a pas réellement de sens. Cependant la définition de l'espérance étant ce qu'elle est, des moyennes à 3,5€ ou 7,5€ sont pour moi tout à fait correctes mathématiquement parlant.

Si on prend une série statistique d'une variable aléatoire discrète, rien ne nous garantit que sa moyenne n'appartienne à la série donnée. Il n'empêche que c'est une grandeur qui a un sens, même si sa valeur n'est pas une réalisation de la variable aléatoire.

A pluche!

[Elie520]

Exactement, cette valeur a un sens, elle veut juste dire que si l'individu fait séries de 9 lancers, il récupèrera en moyenne €

Donc non pelkin, ces résultats ne sont pas du tout une aberration

[pelkin]

Il est clair que faire une moyenne sur trois valeurs pondérées, cela n'a pas réellement de sens. Cependant la définition de l'espérance étant ce qu'elle est, des moyennes à 3,5€ ou 7,5€ sont pour moi tout à fait correctes mathématiquement parlant.

Bonjour,

Mathématiquement correct, d'accord (les maths sont "presque" toujours implacables), mais si cela n'apporte aucune information cela n'a aucun sens, et c'est bien le ou les problèmes des stats ; le choix de l'outil, ensuite l'interprétation. Ce qui faisait dire à Coluche : "En france, il y a 1,75 enfants par ménage, moi j'en ai eu deux, j'ai pas trouvé la virgule" .

Accessoirement, OU voyez vous des valeurs pondérées ???

[pelkin]

Exactement, cette valeur a un sens, elle veut juste dire que si l'individu fait séries de 9 lancers,

Si cela ne vous dérange pas de relire l'énoncé, l'individu a droit à UNE série de neuf lancers.

Si vous relisez correctement mon post, je dis bien que la moyenne n'a pas de sens sur UNE série.

(Elles n'aurait pas plus de sens sur plusieurs séries, les valeurs étant discrètes ... le choix de la moyenne est totalement inapproprié .... d'où le choix de l'outil, ce n'est pas parce qu'un calcul est correct qu'il a une signification).

[ansset]

bon, je reprend.

le mot moyenne n'est pas innaproprié.
en le formulant autrement .
prenons 10 ou 100 lanceurs qui ont droit à 9 lancers.
ils ont tous les mêmes qualités. ( 0,35 ou 0,65 )
je developpe parceque certains simplifie trop le pb....

j'appelle P(n) : la probabilité de reussir n lancer sur 9
C(9,n) le nombre de combinaisons de n parmi 9.
soit C(9,n)=9!/(n!*(9-n)!)

P(n)=(0,35)^n * (0,65)^(9-n) * C(9,n)

on trouve
P(0)=0,0207
P(1)=0,1003
P(2)=0,2162
P(3)=0,2716
P(4)=0,219
P(5)=0,118
P(6)=0,0424
P(7)=0,0098
P(8)=0,0013
P(9)=0,00007

( on peut verifier que la somme fait quasi 1, à cause de mes arrondis)
la proba de gagner
0 euro est P(0)+P(1)+P(2) que j'appele G(0)
10 euros est P(3)+P(4)+P(5) soit G(10)
20 euros est P(6)+P(7)+P(8) soit G(20)
30 euros = P(9) soit G(30 ) ( pinuts )

la "moyenne" au sens ou je l'entend est bien
0*G(0)+10*G(10)+20*G(20)+30*G( 30)

[invité576543]

Cela s'appelle une espérance mathématique, et cela a parfaitement un sens, même sur une série unique (1).

Par exemple, si on demande au joueur de miser quelque chose pour jouer, c'est la mise pour un pari équilibré (autant de risques de gagner que de perdre).

Si on lui demande de miser 7,5 Euros, il répond non. Si on lui demande 7 Euro, il répond oui...


(1) Du moins si la valeur 35% a, elle, un sens ! C'est une statistique sur, vraisemblablement, une grande série passée, et on pose comme certitude a priori que les 9 lancers répondront à cette même loi de probabilité et seront indépendants... On peut, évidemment, mettre cette certitude en doute ; mais si on admet cet a priori, alors la valeur de l'espérance mathématique calculée comme indiqué dans des messages précédents est bien la mise pour un pari équilibré.

[pelkin]

Cela s'appelle une espérance mathématique, et cela a parfaitement un sens, même sur une série unique (1).

Je suis d'accord avec toi qu'une espérance mathématique à un sens, par contre, je ne suis plus du tout d'accord que l'on appelle cela une moyenne.
On fait quoi, des stats ou de la probabilité

[Plume d'Oeuf]

Ah d'accord, donc c'est un problème de sémantique et non de raisonnement.

Si je regarde sur Bibm@th, il est clairement écrit que l'espérance et la moyenne sont synonymes, i.e qu'ils représentent la même grandeur mathématiquement et sémantiquement.

De même, Chronomath affirme, je cite:

espérance mathématique : moyenne pondérée des valeurs d'une série de nombres aléatoires {x1, x2, x3, ...} : m = (Sn_ix_i)/Sn_i , n_i désignant l'effectif de la i-ème valeur observée x_i.

Je dirais donc qu'on peut refuser d'appeler "espérance" une moyenne statistique, mais que rien n'empêche d'appeler "moyenne" ou plus précisément "moyenne pondérée" une espérance.

Mais peut-être suis-je dans le faux.

Bonne continuation.

[pelkin]

Mais peut-être suis-je dans le faux.

Non.

Mais encore faudrait-il au moins préciser de quelle moyenne on parle.
Arithmétique, harmonique, géométrique, quadratique, arithmético-géométrique, et pour toutes celles-là, réduite, pondérée, glissante, composée ?

Et je persiste et signe, l'énoncé ne donne droit QU'A NEUF LANCERS .... finito.

Faire une moyenne n'a pas de sens ; une moyenne de quoi, des possibilités de réussite sur 9 lancers, c'est estimer une espérance moyenne de probabilité ... et cela ne me donne aucune indication quant à un résultat possible.

Personne n'a répondu au fait des espérances de gains pour la première question qui ne peuvent être que 10, 20 ou 30 euros et qu'une espérance de gain de 7,50 euros est une aberration (puisqu'elle ne se réalisera jamais) ... ou alors je vous invite à me dire combien de lancers je dois réussir pour empocher 7,50 euros, ou 3,50 ... ou autre chose que 10, 20 ou 30.

[Elie520]

Et je persiste et signe, l'énoncé ne donne droit QU'A NEUF LANCERS .... finito.

Faire une moyenne n'a pas de sens ; une moyenne de quoi, des possibilités de réussite sur 9 lancers, c'est estimer une espérance moyenne de probabilité ... et cela ne me donne aucune indication quant à un résultat possible.

Personne n'a répondu au fait des espérances de gains pour la première question qui ne peuvent être que 10, 20 ou 30 euros et qu'une espérance de gain de 7,50 euros est une aberration (puisqu'elle ne se réalisera jamais) ... ou alors je vous invite à me dire combien de lancers je dois réussir pour empocher 7,50 euros, ou 3,50 ... ou autre chose que 10, 20 ou 30.

Dans ce cas la, la réponse à la question "quelle somme peut-il espérer" est "Ben 10€ puis c'est le gain promis pour 3 lancers ou plus réussis sur 9 lancers....

[invité576543]

Je suis d'accord avec toi qu'une espérance mathématique à un sens, par contre, je ne suis plus du tout d'accord que l'on appelle cela une moyenne.
On fait quoi, des stats ou de la probabilité

Pour le vocabulaire, je serais assez d'accord. Même s'il y avait une série de séries, on ne calculerait toujours pas la moyenne, mais l'espérance mathématique de la moyenne.

Personne n'a répondu au fait des espérances de gains pour la première question qui ne peuvent être que 10, 20 ou 30 euros et qu'une espérance de gain de 7,50 euros est une aberration (puisqu'elle ne se réalisera jamais) ... ou alors je vous invite à me dire combien de lancers je dois réussir pour empocher 7,50 euros, ou 3,50 ... ou autre chose que 10, 20 ou 30.

Par contre là-dessus, pas d'accord. Une espérance mathématique n'est pas la prédiction de ce qui se passera. C'est un indicateur permettant par exemple de calculer une "mise" équilibrée, et une valeur de 7.2 a tout à fait un sens.

[invité576543]

Si je regarde sur Bibm@th, il est clairement écrit que l'espérance et la moyenne sont synonymes, i.e qu'ils représentent la même grandeur mathématiquement et sémantiquement.

La synonymité n'est pas acceptable d'un point de vue général. La notion de moyenne s'étend bien au-delà du champ sémantique des probabilités, alors que la notion d'espérance est spécifique.

Ce que veut dire le texte est que dans le contexte réduit d'un texte sur des lois de probabilité et des notions de gain, alors le mot moyenne signifie espérance.

Vu la spécificité des termes, cela paraît sain d'éviter la confusion et d'utiliser le terme "espérance mathématique" (de gain, ou d'autre chose) quand cela est applicable, puisque plus précis.