Un cercle dans un carré

[Rhodes77]

Bonsoir le forum

Je me pose une question dont la réponse est immédiate et comme souvent en maths, ce sont les choses les plus spontanées à l'esprit que je démontre le moins facilement.

On se place dans un repère orthonormé de centre O et on y dessine un carré de coté h dans le premier secteur, càd de diagonale OB où B admet pour coordonnées B(h;h).
A l'intérieur de ce carré, on promène un point M, repéré par ses coordonnées M(x;y), x€[0..h], y€[0..h]. On appelle n la distance qui sépare M du coté haut du carré (n comme Nord), s celle du coté bas, w celle du coté gauche et e celle du coté droit, de sorte que :
n=h-y, w=x (je reconnais que c'est inutile mais c'est pour fixer les idées), s=y (même remarque) et e=h-x.
Pour chaque position du point M, càd pour chaque couple (x,y), il existe une de ces longeurs qui est plus petite que les trois autres, parfois deux, parfois les 4 ont même valeur.
Dans le cas général, pour chaque position du point M, on trace le cercle de centre M et de rayon r=min{n,s,e,w}.
On cherche enfin la position M0 du point M pour laquelle r est maximum.

A 1D, ça ne me pose pas de problème, à deux D j'ai plus de mal. J'intuite très facilement la solution mais j'ai du mal à mettre en équation. Je galère aussi pour invoquer les symétries du problème qui permettraient de limiter l'étude.

Je m'en remets donc à votre aide précieuse, merci d'avance
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[Rhodes77]

Bon en fait, chercher r_max est délicat car les dérivées partielles de r ne sont pas définies partout.
La surface r(x,y) est la surface d'une pyramide à base carrée (intuitée, non démontrée toujours) alors adieu les méthodes classiques des recherches des racines des dérivées...
Je n'aboutis pas...

(désolé pour le double post)

[Elie520]

Suppose . On a donc et démontre que :

[Titiou64]

salut,

je serais toi, je résoudrai ton problème par étapes successives.

Tout d'abord tu places ton point M en Minit=(0;y). Puis tu calcules le r horizontal pour chaque position en faisant varier l'abscisse de M. Tu vas trouver que r max est pour M=(h/2,y). Puis que au delà du milieu, tu es symétrique. Tu déduis que sur l'axe O-E, la position optimale est pour x=h/2

Tu fais la même chose en plaçant M sur la droite N-S avec l'abscisse h/2. En faisant varie l'ordonnée de M, tu vas encore tomber sur h/2.

donc le point optimal est le milieu du carré.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rhodes77]

Re,

D'abord merci pour vos propositions.

Titiou64, la méthode pose un petit souci, c'est le choix du premier y. Il est choisi arbitrairement et il manquerait un argument de symétrie ab initio pour valider la démonstration indépendamment du choix du premier y. Car la seconde étape de la démo que vous proposez suppose que le h/2 trouvé dans la première est vérifié quelque soit le premier y choisi. Mais une fois l'idée de la symétrie du problème mise en place, on pourra découpler l'étude générale le long des deux dimensions alors indépendantes.

Elie520, l'idée est plaisante car elle s'appuie sur le "bon sens" physique et part d'une conjecture à vérifier. Seulement, dans le cas général, je ne sais pas mettre en évidence l'équivalence "M différent de M0 si et seulement si r <= r0" car l'étude doit être menée pour une position quelconque de M. En fait en l'écrivant il me vient l'idée de supposer que pour toute position M, r existe donc il existe un minimum dans {n,s,e,w} et qu'on doit pouvoir bidouiller ça, alors j'y retourne !

Merci encore

[Elie520]

Si , tu as soit soit (soit les deux). Donc envisage plusieurs cas selon si est plus grand ou plus petit que et de même pour y, et déduis-en donc que
(Un petit exemple : .)

Et je ne crois pas que la réciproque soit nécessaire en fait.

[Rhodes77]

Re,

Oui ça se tient bien. Pour ce qui est de la symétrie, le problème est invariant par symétrie centrale de centre l'intersection des diagonales. Autrement dit, on doit pouvoir réduire l'étude à un quart de carré. Si on ajoute ensuite la démo de Elie520, on montre que si M est différent de M0, alors r est strictement inférieur à r0.
Reste à montrer très facilement qu'en M0, la valeur r0 est atteinte, et on a déjà montré qu'elle était majorante dans tous les secteurs du carré, autrement dit en tout autre point.
CQFD. Enfin je ne vois plus d'obstacle majeur.

Merci beaucoup !! Je vais pouvoir dormir tranquille

[Elie520]

Et je ne crois pas que la réciproque soit nécessaire en fait.

En effet:
Notons , on a le rayon du cercle lui correspondant.

On veut r maximal, donc étant une valeur prise, on le sait, on peut le calculer, quand le point est au milieu du carré, on ne veut pas ,.

Or Donc d'après la démonstration que tu auras faite (celle amorcée en message #6), . D'où
Donc est le rayon maximal, pris pour