démonstration par récurrence

[invite7ccd85f5]

Bonjour,

j'ai un problème avec les démonstration par récurrence .

pour la première partie pas de souci je prouve que la formule est vraie pour 0

le problème est quand j'arrive à la deuxième partie, où on me demande de prouver que la formule est vraie aussi pour n+1 , je développe ma formule avec n+1 mais je ne comprend pas ce que je dois faire de ce résultat , avec quoi le comparer pour prouver l'égalité ?

un exemple sera plus parlant, c'est pourquoi j'ai scanné mon exercice et sont énoncé que je met en pièce jointe

je vous remercie d'avance pour votre aide,

Martin
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[anicornis]

Bonjour,

j'ai un problème avec les démonstration par récurrence .

pour la première partie pas de souci je prouve que la formule est vraie pour 0

le problème est quand j'arrive à la deuxième partie, où on me demande de prouver que la formule est vraie aussi pour n+1 , je développe ma formule avec n+1 mais je ne comprend pas ce que je dois faire de ce résultat , avec quoi le comparer pour prouver l'égalité ?

un exemple sera plus parlant, c'est pourquoi j'ai scanné mon exercice et sont énoncé que je met en pièce jointe

je vous remercie d'avance pour votre aide,

Martin

Bonjour mon ami
alors ta question , tu as presque arriver à la solution mais il faut bien agir , alors tu a obtenu que pour n+1 : nous obtenant le nombre (n²+3n+5)
alors il nous reste de démontrer que cette réplique est impair , et l'impute à celle original :
alors nous savons bel et bien que : n(n+1) est un nombre pair alors on peut le remplacer par 2k , alors nous obtenant que :
n²+3n+5=n(n+1)+2n+5=2k+2n+5=2( k+n)+5
on met que k+n=P et on obtien
n²+3n+5=2P+5 ,,,, et voilà c'est la formule d'un nombre impair , alors cela nous prouve que le nombre n²+3n+5 est impair ,,,, et nous concluson que le nombre n²+n+3 est impair
et Bon courage pour nous tous

[Médiat]

alors nous savons bel et bien que : n(n+1) est un nombre pair [...]

Mais vous ne faites pas une démonstration par récurrence comme cela est demandé. Tant qu'à faire une démonstration directe il aurait été plus simple de la faire à partir de la formule initiale.

Par récurrence, ce n'est pas compliqué car n² + 3n + 5 peut s'écrire autrement :

n² + 3n + 5 = n² + n + 3 + 2n + 2 = (n² + n + 3) + 2(n + 1), or par hypothèse de récurrence n² + n + 3 est impair, et il est clair que 2(n + 1) est pair, comme un nombre impair plus un nombre pair donne un nombre impair, c'est gagné !

[invite7ccd85f5]

je comprend mieux .

j'ai vu dans mes quelques corrections d'exercice que lors d'une démonstration par récurrence, il fallait souvent prouver que le résultat de l'équation était souvent prouvée par égalité avec une autre formule .

donc dans ce cas j'aurais du dire avant mon développement pour n+1 que tout nombre impair additionné à un nombre pair donne un nombre impair ? et me basé sur cette thèse pour prouver ?

désolé, je suis un peu pointilleux mais c'est une question de l'examen de l'année passée ^^

Merci,

martin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebd086fe9]

Bonjour,

j'ai un problème avec les démonstration par récurrence .

pour la première partie pas de souci je prouve que la formule est vraie pour 0

le problème est quand j'arrive à la deuxième partie, où on me demande de prouver que la formule est vraie aussi pour n+1 , je développe ma formule avec n+1 mais je ne comprend pas ce que je dois faire de ce résultat , avec quoi le comparer pour prouver l'égalité ?

un exemple sera plus parlant, c'est pourquoi j'ai scanné mon exercice et sont énoncé que je met en pièce jointe

je vous remercie d'avance pour votre aide,

Martin

On a à demontrer que quelque soit n entier naturel, on a toujours n² + n + 3 est un entier impair.
Au rang 0, on a 3 qui est un entier impair.
On le suppose au rang n, soit n² + n + 3 est un entier impair.
Au rang n+1, on a (n+1)²+(n+1)+3=n²+2n+1+n+1+3=( n²+n+3)+(2n+2)=(n²+n+3)+2(n+1) .
On a quelque soit n 2(n+1) pair, or (n²+n+3) est impair donc (n²+n+3)+2(n+1) est impair, car impair+pair= toujours impair.
Voici c'est vrai pour tout n

[invite7ccd85f5]

Merci pour cette précision

j'ai compris

je remercie sincerement tout ceux qui ont participé à la conversation .

Martin.

[shizune45]

quelquu'n peut m'expliquer pourquoi n (n+1) est pair , je suis nulle en maths

[Médiat]

Bonjour,

Parce que si n est pair, c'est gagné et si n est impair alors n+1 est pair et c'est gagné aussi.