Exercices sur les fonctions Terminale S

[invitebb7a375e]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide sur un exercice a faire pour les vacances.
Voila le sujet:
On admettra le résultat suivant : x^3 >ou= a <=> x >ou= a^(1/3)

1. Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 3x^4 - 6x + 1.
a. Étudier les variations de g sur IR.
b. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet exactement deux solutions α et β sur IR. On donnera un encadrement d'amplitude 10^-3 puis une valeur approchée à 10^-3 près de α et β.
c. En déduire le signe de g.

2.. Dans un repère orthonormé (0 ; i , j ) [i et j sont des vecteurs], on considère le point
A(0 ; 2), la courbe C d'équation y = x^3 et un point M d'abscisse x appartenant à la courbe g.

=>Existe-t-il une valeur de x pour laquelle AM^2 soit minimale ?

Remarque : on note a^(1/3) = racine cubique(a)

Voila mes recherches:

1a. Je pensais dérivé, ce qui me donne 12x³-6 [ peut etre que 12x³-6>ou= 0 <=> 12x³>ou=6 <=> x³>ou= 1/2 <=> x>ou= (1/2)^(1/3) mais je n'arrive pas a voir si cela sert]
Mais je ne vois pas ce que cela me donne , comment étudier le signe?

b. Je pense qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais je ne l'ai pas compris

2. J'ai compris ce qui est demandé mais je n'ai aucune idée de comment le démontrer.

J'ai vraiment besoin d'aide et c'est pour cela que je fais appel à vous.
Merci.
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[S321]

Bonjour,
avant de commencer je vous signale qu'en haut à droite de la fenêtre de rédaction des messages vous avez des petits symboles X² et X₂ qui vous permettent d'écrire plus lisiblement des maths sur le forum.
En ce qui concerne les symboles ⩽ et ⩾, en général on les notes <= et >= sur forum (on ne met pas de "ou", c'est trop lourd), sinon vous pouvez aussi copier-coller ceux que je viens de vous donner ^^.

Vous pouvez aussi essayer d'utiliser les balises "TEX" pour avoir la possibilité d'écrire des maths de manière un peu plus poussée, je reconnais que ça demande plus d'investissement, mais c'est bien plus agréable à lire. Par exemple serait pas aisé à écrire sans tex.

Pour ce qui concerne votre problème.

1a. Je pensais dérivé, ce qui me donne 12x3-6 [ peut etre que 12x3-6>ou= 0 <=> 12x3>ou=6 <=> x3>ou= 1/2 <=> x>ou= (1/2)^(1/3) mais je n'arrive pas a voir si cela sert]
Mais je ne vois pas ce que cela me donne , comment étudier le signe?

C'est tout de même dommage, vous avez écris la solution. C'est typique des étudiants qui acquiert des automatismes en maths sans comprendre pourquoi.
Si je réécris ce que vous avez dit ça donne

Vous savez donc quand est-ce que g' est positive (ie supérieure à 0) et a fortiori vous savez aussi quand elle est négative, c'est ce qu'on appel avoir étudié le signe.

Ici vous faites un joli tableau de variation avec les valeurs et les limites de la fonctions aux points singuliers, ça vous sera très utile pour la suite.
Normalement vous devez avoir deux intervalles important, un sur lequel votre fonction est décroissante l'autre sur lequel elle est croissante.

En étudiant votre fonction vous allez vous rendre compte que sur l'intervalle où g est croissante, près de la borne de gauche vous allez voir que g prend des valeurs négative tandis qu'à droite elle prend des valeurs positives.
g est une fonction continue et elle passe de valeurs négatives à des valeurs positives, impossible de faire ça sans passer au moins une fois par 0 donc il existe β dans cet intervalle tel que g(β)=0.
Après vous avez encore besoin de montrer que ce β est unique, pour ça je vous laisse réfléchir un peu, les mots clés qui devraient vous aider sont "croissance" et "bijection".

Pour trouver un encadrement de alpha et béta, vous pouvez utiliser la méthode dichotomique. Vous avez vu ça ?

Pour la question c, une fois que vous avez un tableau de variation complet avec les valeurs aux limites, les extrema et les points d'annulation le signe se lit directement.

[invitebb7a375e]

Merci pour votre réponse.
Le terme "bijection" ne me dit rien ( il n'est même pas dans mes cours) et la méthode dichotomique m'est inconnu?
Pourriez-vous m'expliquer?
Merci

[S321]

Sans bijection, pas d'unicité, tu as forcément vu ce que c'était. Certains profs de terminale donne le théorème sans donner le terme "bijection" à leurs élèves, je trouve ça vraiment dommage.

Le théorème c'est si ta fonction à laquelle tu appliques le théorème des valeurs intermédiaires est strictement monotone sur l'intervalle considéré la solution donnée par le TVI est unique.

La méthode dichotomique est un algorithme qui te permet de trouver une solution approchée d'une équation du type f(x)=0 quand f est monotone.

On va prendre le cas où f croissante (dans ton cas la recherche de β). Tu commence par prendre un intervalle [a,b] dans lequel tu sais que β se trouve.
Il faut que a et b soient finis, pour être sûr que β se trouve dedans tu vérifie que f(a)<0 et 0<f(b) (comme f(β)=0 et f croissante a<β<b est équivalent à f(a)<f(β)<f(b)).

Ensuite tu prend le terme à la moitié de l'intervalle (a+b)/2 et tu évalue f. Si f((a+b)/2)<0 c'est que β est plus grand que lui donc tu peux réduire ta recherche à la moitié supérieur de l'intervalle. Tu pose a₁=(a+b)/2 et tu recommences la même chose avec l'intervalle [a₁,b].
Sinon β est dans la première moitié donc tu pose b₁=(a+b)/2 et tu cherches dans [a,b₁].

Lorsque tu obtiens un intervalle dont la taille est inférieur à 10^-3 tu as gagné. Et comme tu divises à chaque étape la taille de ton intervalle par 2, ça descend vite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb7a375e]

Bonjour,
J'ai réussi grâce à ton aide la question n°1 que j'ai trouvé assez difficile.
Pourrais-tu maintenant m'éclairer sur la question n°2?

Encore merci

[S321]

Bien sûr, je dois pouvoir faire ça.

J'imagine que le point M appartient à la courbe C, parce qu'il n'y aurait pas de raison de l'introduire si c'est pour placer M sur la courbe de g.
Donc vous avez M(x,x³), quand on vous donne un point défini de manière folklorique, essayez toujours d'exprimer ses coordonnés.

Vous devez minimiser AM², or vous pouvez facilement en exprimer le carré de la norme, ça vous donne un polynôme du 6ème degré. Typiquement lorsqu'on a une fonction dont on veut trouver les extrema (ici un minimum absolu), on la dérive et on regarde où la dérivée s'annule.
Sauf que là vous seriez bien en peine de trouver les racines du polynôme dérivée, il est tout de même de de degré 5. Moi-même je ne sais pas le résoudre celui-là.

Mais en relisant l'énoncé je me suis rendu compte de quelque chose, on ne vous a jamais demander d'expliciter un x tel que AM² soit minimal, on vous demande juste de démontrer qu'il existe.
Il vous faut juste montrer que votre fonction polynomiale de degré 6 est minorée (une fonction continue minorée admet un minimum), c'est à dire qu'elle ne tend jamais vers -∞.

[invitebb7a375e]

pour AM² je trouve x⁶-4x³+x²+4
J'ai compris ce que l'on fait pour arriver jusque la mais après je n'est pas compris l'histoire du minimum...
Peux-tu encore une fois m'éclairer?
Merci