2 vecteur concourant avec inconnus

[invited7e22698]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de math a résoudre mais une notion me manque et je ne parviens pas à mettre le doigt dessus.

J'ai 2 vecteurs :

D1 : A(-3,0,-4) et B(a,a,5)
D2 : (x+3)/2 = y - 1 = (z+2)/a

Mon but est de trouver l'inconnu a pour que les vecteurs soit concourant. Je n'y parviens pas. Il est simple de trouver l'inconnu a dans l'éventualité ou les vecteurs sont perpendiculaire ou parallèle mais pas dans ce cas-ci. Un notion me manque ou il y a une notion des vecteurs que je n'ai pas compris.

Votre aide serait apprécié.

Merci.

[NicoEnac]

Bonjour,

Dire que 2 vecteurs sont concourants n'a pas de sens... Je pense plutôt que D1 et D2 sont des droites de l'espace et qu'on cherche à ce qu'elles soient concourantes.

La première est définie par deux points tandis que l'autre est définie comme intersections de plans ((x+3)/2 = y-1 et y-1 = (z+2)/a).

[NicoEnac]

Cherchons donc M € D1 inter D2.
Si M € D1, alors il existe un réel k, différent de 0, tel que : AM = k.AB (vecteurs).

On obtient le système suivant :
x_M = t.(a+3) - 3
y_M = t.a
z_M = 9.t+4

Or d'après nos hypothèses, M € D2 donc (x_M+3)/2 = y_M - 1 = (z_M+2)/a

En utilisant ces propriétés, tu devrais pouvoir trouver a (et t par la même occasion).

[invited7e22698]

Effectivement je veux rendre ces 2 vecteurs concourants. C'est Le M qui me manquait je crois. L'équation paramétrique j'avais trouver. Mais le M représente quoi exactement ?

Merci de ton aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Effectivement je veux rendre ces 2 vecteurs concourants.

Je le répète (je chipote un peu), 2 vecteurs concourants, ça ne veut rien dire. 2 droites concourantes, oui. Bref...

Concernant M, on suppose qu'il existe un point d'intersection entre les 2 droites D1 et D2 et on l'appelle M. On cherche ses coordonnées et si on n'arrive à une solution unique, cela signifie que les droites sont concourantes.

S'il est donc point d'intersection de D1 et D2, il appartient premièrement à D1. Donc AM est colinéaire à AB. Ce simple fait nous donne les équations données plus haut.

Deuxièmement, il appartient à D2. Donc ses coordonnées vérifient (x_M+3)/2 = y_M - 1 = (z_M+2)/a

[invited7e22698]

Donc je doit rendre égale mes 2 équations paramétriques.

D1
x = s.(a+3) - 3
y = s.a
z = 9.s-4

D2
x = -3+2.t
y = 1 + t
z = -2+a.t

-3+s.(a + 3) = -3+2.t
a.s = 1 + t
-4 + 9.s = -2 + a.t

Devient donc :

s.(a+3) - 2.t = 0
a.s - t = 1
9.s - a.t = 2

Est-ce que je procède de la bonne façon ?

Ps : Je suis mélangé pas à peu près loll.

[NicoEnac]

D1
x = s.(a+3) - 3
y = s.a
z = 9.s-4

OK avec ça !

D2
x = -3+2.t
y = 1 + t
z = -2+a.t

Ceci est une équation paramétrique de D2, en effet, mais je pensais à une solution beaucoup plus simple.

Prends tes équations paramétriques de D1 et injecte les dans (x+3)/2 = y - 1 = (z+2)/a et vois ce que ça donne.

[invited7e22698]

Oui donc ca me donnerais :

((a+3).s) / 2 = a.s - 1 = (9.s- 2) / 2

[NicoEnac]

((a+3).s) / 2 = a.s - 1 = (9.s- 2) / 2

Très bien !
Considérons maintenant la partie droite de cette double égalité :
a.s - 1 = (9.s- 2) / 2 et essayons d'exprimer a en fonction du reste...

[invited7e22698]

correction :
((a+3).s) / 2 = a.s - 1 = (9.s- 2) / 2 devrait être a

donc :

((a+3).s) / 2 = a.s - 1 = (9.s- 2) / a

[NicoEnac]

Exact. Je n'y ai pas prêté attention (mea culpa). Le raisonnement exprimé plus haut n'en reste pas moins valable mais avec la partie gauche de la double égalité (plus simple).