Exercice nombre premier (modulo)

[invite016dfb93]

Bonsoir,

Voici un petit exercice dont j'ai du mal à résoudre...

On a N = 4n! - 1 avec n supérieur ou égale à 2.

1°) Prouver que N admet des facteurs premiers supérieur à n.

2°) Montrer que parmi les diviseurs premiers de N, l'un au moins est congru à -1[4]

3°) L'ensemble des nombres premiers congrus à -1 est fini ou infini ? Jutifiser.

Bon j'y comprends pas grand chose...
Je suppose que pour la 1° question, il faut trouver une factorisation de N pour le tranformer en un produit de deux facteurs et montrer que les deux termes sont supérieurs à n. J'espère que mon raisonnement à un sens .

Pour le deuxième, sa doit être à partir du 1° mais je vois vraiment pas trop comment...
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[invite016dfb93]

J'ai vraiment besoin d'aide. Help pleaz.

[Lildrille]

Bonjour

je ne sais pas trop où cet exo veut en venir mais si tu cherches à décomposer, si tu as bien n factorielle, on peut il me semble dire que :

n! = 1*2*3*4*5*.... *(n-1)*n

et là tu as bien des nombres premiers supérieurs à 2 comme 3, 5, 7, 11, 13 etc.

Pour les congruences, as tu compris ce que ça voulait dire déjà ?

en fait, prenons par exemple un chiffre 5

5 = 1 * 4 + 1 donc 5 est congru à 1 modulo 4

et il y a la règle, enfin peut-être que tu la savais déjà

si a congru à b modulo c alors a-b divisible par c => (a-b) =kc

alors pour ta question, on pourrait au moins dire que 3 est congru à -1 modulo 4 car 4 = 4 * 1 ou 7 est congru à -1 modulo 4 car 8 = 4 *2 avec k relatif

pour la dernière question, je pense qu'on peut continuer beaucoup comme ça car pour tous les nombres qui se notent a + 1 = k 4, on peut dire que a est congru à -1 modulo 4

on retombe sur l'équation de départ étrangement

pour la première question je ne vois pas la factorisation mais j'espère t'avoir aidé au moins pour le reste

bonne soirée

[Médiat]

Bonjour,

1) Pour tous les nombres on a (par définition de la factorielle), et donc , donc aucun facteur premier de N ne peut être inférieur à n.

2) D'abord, on peut dire que N est congru à -1 modulo 4. Un facteur premier de N ne peut pas être congru à 0 ou a 2 modulo 4 (N est impair), ils ne peuvent être congrus qu'à 1 ou à -1, mais s'ils étaient tous congrus à 1 modulo 4, leur produit serait congru à 1 modulo 4, donc il y en a au moins un qui est congru à -1 modulo 4.

3) L'ensemble des nombres premiers congrus à -1 est infini, puisque pour tout n il existe au moins un tel nombre compris entre n et N.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lildrille]

Pour la première question, c'est possible d'avoir l'explication qui passe du 4nfactorielle congru à 0 modulo m et donc N congru à -1 modulo m? Le donc, je le ne comprends vraiment pas

[Médiat]

Bonjour,

0 + (-1) = -1

[invite016dfb93]

Pour la première question, c'est possible d'avoir l'explication qui passe du 4nfactorielle congru à 0 modulo m et donc N congru à -1 modulo m? Le donc, je le ne comprends vraiment pas

C'est assez simple le truc.

4n! = 0 [m]
4n! - 1 = -1 [m]

Or N = 4n! - 1

D'où N = -1 [m]

Bonjour,

1) Pour tous les nombres on a (par définition de la factorielle), et donc , donc aucun facteur premier de N ne peut être inférieur à n.

Tu dis que 1 < m < n, avec m un entier naturel ? Je veux dire que tu supposes qu'il existe un entier naturel m tel que 1 < m < n c'est bien ça?

Définition de factorielle? Jamais entendu parler, je crois...

2) D'abord, on peut dire que N est congru à -1 modulo 4. Un facteur premier de N ne peut pas être congru à 0 ou a 2 modulo 4 (N est impair), ils ne peuvent être congrus qu'à 1 ou à -1, mais s'ils étaient tous congrus à 1 modulo 4, leur produit serait congru à 1 modulo 4, donc il y en a au moins un qui est congru à -1 modulo 4.

3) L'ensemble des nombres premiers congrus à -1 est infini, puisque pour tout n il existe au moins un tel nombre compris entre n et N.

je vois a peu près le truc.

[Médiat]

Tu dis que 1 < m < n, avec m un entier naturel ? Je veux dire que tu supposes qu'il existe un entier naturel m tel que 1 < m < n c'est bien ça?

n étant donné, il existe forcément un entier tel que (ne serait-ce que n), mais surtout ce que je veux dire c'est que la propriété suivante est vraie pour tous les m définis ainsi.

Définition de factorielle? Jamais entendu parler, je crois...

Il va vous être difficile de faire un exercice sur les factorielles sans en connaître la définition, qui est rappelée dans le premier message de Lildrille.

[invite016dfb93]

Je vois, on l'a pas appelé définition factorielle en cours, mais je vois de quoi vous parler.

Merci beaucoup, je reprendrai tout cela pour faire l'exercice.

[Lildrille]

Merci aussi pour les réponses plus précises

Bonne soirée