croissance et signe (exposant et logarithme)

Joe l indien · 27/11/2010 - 16h17

Hello,

Je ne comprends pas le sens des exercices ci-dessous. En gros, je ne sais pas vraiment ce que je fais, ni pourquoi.

Il s'agit d'exercices portant sur la croissance et le signe de a^x et log_ax

Il m'est demandé de résoudre dans R :

1) 0,7^x < 100/49

La réponse est : log_0,70,7^x>log_0,7100/49
x > -2

Ici par exemple je vois bien qu'on emploie la formule "connue" log_a a^x=x or, comme je le disais, je ne comprends pas ce qu'on fait vraiment.
De plus, ce qui m'interpelle vraiment (et me largue) c'est l'histoire du signe "<" qui devient ensuite ">". Je ne comprends absolument rien de tout ça "en français". Je ne comprends pas ce que je dois regarder, ni les implications du signe < qui devient >

Bref, complètemeent énigmatique.

2) De même, voici un autre exercice typique : log₈ x $\leq$ 1/3
La réponse est : 8^log₈x $\leq$ 8 ^1/3
0 < x $\leq$ 2

Je vois que la formule employée est a^log_ax = x. Mais en dehors de ça je comprends rien à ce que je fais !
Ce qui encore une fois est énigmatique pour moi c'est l'apparition du zéro dans la réponse finale (d'où sort-il?) et l'interprétation des signes "<" et $\leq$ ... je ne comprends rien à cette histoire de signes et donc je ne dispose pas des outils pour interpréter les résultats

Jeanpaul · 27/11/2010 - 17h14

On peut déjà remarquer que 0,7 = 7/10 donc 0,7² = 49/100 , qui est l'inverse de ce qu'on cherche. C'est donc la puissance -2 qui convient et comme la fonction 1/x² est décroissante, on retourne l'inégalité.

Ensuite pour le log à base 8, comme cette fonction est croissante, l'inégalité est équivalente à x <= 8^(1/3) qui vaut 2. Bien entendu, x doit en plus être positif.

Mysterieux1 · 27/11/2010 - 17h23

Bonjour,

pour etre sur de ne pas te tromper, reviens a la définition:

$a^x=e^{x \ln(a)}$

donc ici,

$0,7^x=e^{x \ln(0,7)}$

tu as un changement de sens de l'inégalité car $\ln(0,7)<0$ "tout simplement"

Bonne journée

Mystérieux1

Joe l indien · 27/11/2010 - 17h47

Merci mais...hélàs ça n'aide pas beaucoup ma bête caboche !

Au risque de me répéter : d'où vient le zéro dans la réponse 0 < x $\leq$ 2

Encore une fois, existe-t-il une manière "simple", pragmatique, "avec les mains", ... de m'expliquer la signification des signes d'inégalités <, >, etc. et de leur changements dans les développements?

Autre exemple :

log_0,3x < -3
Réponse : 0,3^{log0,3^x} > 0,3^-3
La fonction 0,3^x est décroissante sur R.
x > 1000/27

Je ne comprends rien aux signes d'inégalités

Comment sait-on quand c'est plus petit, plus petit ou égal, plus grand...???

Joe l indien · 27/11/2010 - 18h18

Envoyé par Jeanpaul

comme la fonction 1/x² est décroissante, on retourne l'inégalité.

Ah! suis-je sur une piste ? Est-ce que c'est ça que ça voudrait dire ?
Quand la fonction est croisante on ne touche pas aux signes de l'inégalité.
Quand, fonction décroissante, on inverse l'inégalité donc par exemple "<" devient ">" ou $\leq$ devient $\geq$ .

Mais quid du zéro dans le premier exercice... ça je ne pige toujours pas quand il faut le mettre ou pas, c'est du chinois !

RoBeRTo-BeNDeR · 27/11/2010 - 18h19

Bonjour,

Pour considérer le logarithme d'un nombre x il faut qu'il soit positif

On a dû te le dire voilà tout ^^

Pour les inégalités :

Considérons que l'on à $x \leq y$ alors pour tout z de $\mathbb{R}$ on a : $x+z \leq y+z$
si z>0 alors on a $xz \leq yz$
si z<0 alors on a $yz \leq xz$
si z=0 ... c'est évident ^^

Par exemple :
x=2 et y=3 donc $2 \leq 3$ donc quelque soit z de $\mathbb{R}$ on a bien : $2+z \leq 3+z$ par exemple z=5 alors on a bien : $10 \leq 15$
si z=-5 on a donc $-15 \leq -10$

Maintenant voyons quand est ce que une inégalité stricte peut devenir large :

soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites convergentes respectivement vers x et y et telles que pour tout n on ait : $x_n < y_n$ alors en passant à la limite on peut seulement affirmer $x \leq y$

Exemple :

$(-1/2^n)$ et $(1/2^n)$ on a bien pour tout n : $-1/2^n < 1/2^n$ mais leur limite est 0 chacune

si on a $x \leq y$ et f une fonction croissante sur un intervalle qui contient x et y alors on a : $f(x) \leq f(y)$ et si elle est décroissante : $f(y) \leq f(x)$ . De même si elle est strictement croissante ou décroissante et que tu as $x<y$ le caractère strict de l'inégalité est conservé (même sens que précédemment )

Si tu as toujours des problèmes dit nous les quels ils sont.
RoBeRTo

Joe l indien · 27/11/2010 - 18h41

salut Roberto,

A mon grand regret tes explications sont trop éloignées du "concret" de mes exercices pour que cela puisse me venir en aide !

Je ne suis pas naturellement doué en maths, donc je reste très proche de ce que l'on me demande dans les exercices si ça s'en éloigne je me perds. Je te remercie néanmoins

Je crois donc être dans le bon quand je disais juste au-dessus (c'est ce genre d'explication là que je recherche!) :

Quand la fonction est croisante on ne touche pas aux signes de l'inégalité.
Quand, fonction décroissante, on inverse l'inégalité donc par exemple "<" devient ">" ou devient .

Pour le zéro dans le premier exercice... ça je ne pige toujours pas quand il faut le mettre ou pas, bon ben tant pis pour ça je passe !

Par contre voici une nouvelle colle :

Résoudre dans R :
x.log₃5 $\leq$ -4

Mon problème c'est : comment résoudre log₃5 ? les chiffres ne "fonctionnent" pas bien entre eux! Pour résoudre l inéquation ça va mais je cale sur la résolution du logarithme en question!