TS DM Nombres Complexes/Exponentielles.

[AurélieH]

Bonsoir! J'ai un Dm de math à rendre dans quelques jours, et je bloque sur deux exercices.

ex I sur les nombres complexes:
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O,i,j), d'unité graphique 4 cm, on considère le point A d'affixe a=-1, et l'application f du plan dans lui-même, qui au point M d'affixe z associe le point M'=f(M) d'affixe z'=(iz)/(z+1)
1) Déterminer l'affixe des points M tels qu M=M'
<=> z'=z <=> z=(iz)/(z+1) <=> z(z+1)- iz=0
<=> z(z+1-i)=0 <=> d'où z=0 ou z=-1+i

2)Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a:
a) OM'=OM/AM or je trouve OM'=z'= iz.(z+1)
et OM/AM=z-0/z-a = z/(z+1) donc pas de i...
b)(vecteur u, vecteur OM')=(vecteur MA, vecteur MO)+pi/2 à 2pi près.
J'arrive à le visualiser sur le dessin, mais je n'arrive pas à trouver comment le prouver...

3)a)Soit B le point d'affixe b=-(1/2)+i
Placer dans le repère le point B ainsi que la médiatrice (delta) du segment [OA]
Le médiatrice passe donc par B et est perpendiculaire à l'axe des abscisses.
b)Calculer sous forme algébrique l'affixe b' du point B' image de B par f. Etablir que B' appartient au cercle (C) de centre O et de rayon 1. Placer le point B' et tracer le cercle (C)
b'=ib/(b+1)= (-(1/2)i+i²)/(1/2) = (-(1/2)i - (1/2)x2)/(1/2) = -2-i
donc chez moi le point B' n'est pas dans le cercle C...
c) En utilisant la question 2, démontrer qu, si un point M appartient a la médiatrice delta son image M' par f appartient au cercle (C)
à partir de cette question, c'est la catastrophe générale...
d) Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral et direct. En s'aidant de la question 2 construire à la règle et au compas, l'image du point C par f.

4) Dans cette question, on se propose de déterminer par 2 méthodes différentes, l'ensemble (T) des points M distinct de A et de O dont l'image M' par f appartient à l'axe des abscisses.
(les questions a et b sont indépendantes)
a)On pose z=x+iy avec x et y réels tels que (x;y) différent de (0;0). Calculez Re(z') et Im(z') en fonction de x et y on vérifiera que:
lim(z')=(x²+y²+x)/((x+1)²+y²)
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (T) et le tracer dans le repère.
b) A l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble (T)

ex II: exponentielles.
On considère la fonction f définie sur |R par f(x)=((e^x)-1)/x si xdifférent de o et f(0)=1
1) Etudiez la continuité de f en 0.
Là je ne sais pas trop quoi faire.
2) Déterminer les limites de la fonction en -infini et +infini. Interprétez graphiquement les résultats.
J'ai beau tout faire pour transformer f je tombe toujours sur une Fome Indéterminée. Pour l'interprétation c'est les asymptotes mais sans les limites impossible de trouver.
3)On considère la fonction g définie sur |R par g(x)=1+(x-1)e^x
a) Etudiez le sens de variation de g (on ne demande pas les limites)
g'(x)=e^x + (x-1)e^x négative sur [-inf;0] donc g décroissante et positive sur [0;+inf] donc g croissante.
b) Claculer g(0) et en déduire le signe de g(x)
g(0)=0 donc g admet 0 pour minimum donc g positive sur |R
4)a)Calculez f'(x) pour tout réel x non nul où f' est la dérivée de f. (On admettra que f est dérivable en 0 et que f'(0)=1/2)
f'(x)=(xe^x -e^x -1) /x²
b) Dressez le tableau de variation de f.
x |-inf 1.2 +inf
f' | - +
f |décroissante croissante

Voilà donc je pense que j'ai fait des erreurs dans le peu de questions que j'ai su faire, merci de votre aide!

[pallas]

pour le deux tu as la relation avec les affixes d'un coté iz(z+1) et de l'autre z'z+1) il suffit mainteanant de prendre les modules pour trouver 2a) et les arguments pour trouver 2b)

[NicoEnac]

Bonjour,

Tu as trouvé que et que . Pour la question 2a), il faut prendre le module et pour la 2b) l'argument

[AurélieH]

Merci à tout les deux j'ai résolu cette question!

[Kratos69]

Bonsoir, je vient d'avoir se DM a l'identique mais malgré les indication que vous avait mis je n'arrive pas a répondre a la question 2 a) et 2b), pourriez vous essayer de m'écrire les calculs car je n'arrive pas a faire l'argument. Merci d'avance (je doit le rendre jeudi)

[NicoEnac]

et .

Quelle relation évidente entre et peut-on déduire de ces deux égalités ?

[Kratos69]

Que i*Z.om/Z.am = Z.om'