aide sur suites

[invite6de0d42c]

Bonjour , j ai un exercice mais je ne comprend pas comment lancer la démarche , " démontrer par récurrence que pour tout n appartenant a l' ensemble N , 10^n - 1 est un multiple de 9 . si quelqu' un est disponible je le remercie
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, as tu traité les congruences?

si oui

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donc donc donc .

[invite6de0d42c]

bonjour , heu non jconnai pas ce terme la

[RoBeRTo-BeNDeR]

Pour n fixé, posons et posons .

Il faut montrer que ce qui n 'est pas très compliquer, il suffit de faire une récurrence finie en disant que avec k allant de 0 à n-1. Et donc que d'où avec et donc que est bien multiple de 9.
Ceci etant valable pour un n quelconque, donc vrai pour tout n, avec quelques réserves peut être pour n=0 au niveau de l'écriture.

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Une autre plus simple, avec une récurrence directe:
Notre hypothèse de récurrence avec
donc ce qui prouve l'hérédité de la propriété, et on pose

[pallas]

une simple recurrence suffit
vrai pour n=0
supposons vrai pour n soit 10^n-1 = 9k avec k element de N
alors 10^(n+1)-1=10^nx10-1= (9k+1)x10 -1 = 9x10k+9=9(10k+1)=9k' avec k'= 10k+1 element de N cqfd