1ereS-Position d'une droite par rapport à une parabole.

[invitece44d51a]

Bonjour tout le monde!

Le prof nous a donné un Dm et je bloque à la 3è question :
On considère toutes les droites (d'équation y=m(x+3)+4) passant par le point A(-3;4) sauf celle d'équation x=-3.
Démontrer qu'il existe deux droites passant par le point A et tangentes à P (d'équation y=x²).

Alors moi j'ai un peu commencé :
x²=m(x+3)+4
<=> x²-m(x+3)+4 =0
<=> x²-3m+mx+4 =0
Apres je bloque ... C'est le m qui me gène... Je sais qu'il faut trouver deux racines (chaque droite ayant un point commun avec P). Mais j'y arrive pas.



Merci d'avance pr votre aide !
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[Bleyblue]

Eh bien si y= x² admet y = mx + 3m + 4 en un de ces points alors :

2x = m (coeff. ang de la tangeante)
y = x²
y = mx + 3m + 4

Ca devrait te permettre de trouver les deux points A(x1,y2) et B(x2,y2) en lequel y = mx + 3m + 4 est tangeante à y = x²

[Jeanpaul]

Bonjour tout le monde!

Le prof nous a donné un Dm et je bloque à la 3è question :
On considère toutes les droites (d'équation y=m(x+3)+4) passant par le point A(-3;4) sauf celle d'équation x=-3.
Démontrer qu'il existe deux droites passant par le point A et tangentes à P (d'équation y=x²).

Alors moi j'ai un peu commencé :
x²=m(x+3)+4
<=> x²-m(x+3)+4 =0
<=> x²-3m+mx+4 =0
Apres je bloque ... C'est le m qui me gène... Je sais qu'il faut trouver deux racines (chaque droite ayant un point commun avec P). Mais j'y arrive pas.



Merci d'avance pr votre aide !

Si tu écris que simultanément :
y = x² et
y = mx +(3 m + 4)
tu obtiendras une équation où m est paramètre (supposé connu) et dont les solutions x1 et x2 sont les intersections de la droite paramétrée par m et de la parabole. Ces points n'existent pas toujours, mais si la racine est double, alors il y a tangence.
A toi maintenant.

P.S. Vérifie aussi un peu tes équations, je ne serais pas surpris qu'il y eût une erreur ...

[nissart7831]

Bonjour,

en complément de Bleyblue, pose toi la question de ce que ça veut dire qu'une droite est tangente à une courbe.
C'est ce qui te permettra de justifier qu'utiliser les équations 2x=m (voir les équations de Bleyblue) et x²=m(x+3)+4 te conduit aux solutions cherchées.

Attention, dans ton début de résolution d'équation, il y a des erreurs de signe.

EDIT: croisement avec Jeanpaul

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitece44d51a]

Eh bien si y= x² admet y = mx + 3m + 4 en un de ces points alors :

2x = m (coeff. ang de la tangeante)
y = x²
y = mx + 3m + 4

Ca devrait te permettre de trouver les deux points A(x1,y2) et B(x2,y2) en lequel y = mx + 3m + 4 est tangeante à y = x²

ah ok merci! Mais comment tu as fait pour trouver m.
Parce que dans l'énoncé, ils disent de représenter les courbes sur calculatrice (T.I) : L1*(x+3)+4 . (Dans la question 2, L1 est la liste des nombres entiers de -3 à 3)
Désolée si je ne l'avais pas précisé dans le post de tout à l'heure ....

[invitece44d51a]

Bonjour,

en complément de Bleyblue, pose toi la question de ce que ça veut dire qu'une droite est tangente à une courbe.
C'est ce qui te permettra de justifier qu'utiliser les équations 2x=m (voir les équations de Bleyblue) et x²=m(x+3)+4 te conduit aux solutions cherchées.

Attention, dans ton début de résolution d'équation, il y a des erreurs de signe.

EDIT: croisement avec Jeanpaul

ouei c'est bon j'ai vu Jean paul
c'est : x²-(x+3)-4 =0
Une droite tangente à une courbe = ils ont un point en commun (donc une racine "double" / solution).
J'ai compris cela, mais je bloque dans le calcul du début (avec m...) c'est pour cela que je peux pas continuer apres ...
sinan merci d'avoir répondu !

[Bleyblue]

Ben le coefficient angulaire de ta tangeante c'est m.
Il doit être égal à la dérivée de f(x) = x² au point de tangeance donc si f(x) = x² est tangeante à y = mx + 3m + 4 au point d'absicce x tu as bien :

m = 2x

[Jeanpaul]

ouei c'est bon j'ai vu Jean paul
c'est : x²-(x+3)-4
sinan merci d'avoir répondu !

T'as pas de pot, tu remplaces une erreur par une autre. Enlève ton walkman !

[nissart7831]

Une droite tangente à une courbe = ils ont un point en commun

Non, la droite (verticale) x=0 (c'est l'axe des abscisses) a un point commun avec la parabole mais ce n'est pas une tangente à la parabole.

Mais bleyblue t'a donné la réponse. Il faudrait que tu le comprennes en le reliant à ton cours.

Sinon, Jeanpaul a raison, tu as encore une erreur ...

Pour la résolution de l'équation, fais la comme une équation du 2ème degré normale. Au fur et à mesure, tu verras qu'il faudra poser des conditions sur m.

[invitece44d51a]

Ben le coefficient angulaire de ta tangeante c'est m.
Il doit être égal à la dérivée de f(x) = x² au point de tangeance donc si f(x) = x² est tangeante à y = mx + 3m + 4 au point d'absicce x tu as bien :

m = 2x

mouai... j'ai pas encore vu la dérivée en cours lol.... Donc j'comprends pas... Et c'est un Dm sur les polynomes, si je parle de la dérivée ca va etre pas bon...
Merci d'avoir repondu quand même .

[nissart7831]

Alors, la question à se poser est : comment a été definie la tangente dans ton cours ?

[invitece44d51a]

Alors, la question à se poser est : comment a été definie la tangente dans ton cours ?

j'ai pas fais de cours sur la tangente cette annee,pour l'instant. seulement sur les fonctions et le polynome du 2nd degré... bref c'est pas grave, je verrai avec des gens de ma classe pour qu'il m'explique plus clairement !merci pour vos reponses!

[nissart7831]

Je reviens un peu sur ce que j'ai dit. C'est vrai que la condition qu'une droite et une courbe aient un unique point commun d'intersection ne suffit pas pour dire que cette droite est tangente à cette courbe en ce point (je t'en ai donné un exemple).
Mais pour l'ensemble des droites particulières que tu considères, cette condition est suffisante.
Donc il faut bien que tu résolves x²=m(x+3)+4 et que tu trouves la condition sur m pour que cette équation n'admette qu'une seule solution, puisqu'il ne faut qu'un point commun.
Alors, comme je te l'ai déjà conseillé, résouds cette équation du 2ème degré en fonction de x, comme tu en as l'habitude. Au cours de la résolution, tu verras qu'il faut considérer m pour conclure.
Allez, pas besoin de tes copains, tu peux y arriver ...

[invitece44d51a]

oki merci nissart7831 . jvais y reflechir ! bon je vous laisse parce que pour demain j'ai bcp de devoirs . Je reviendrai une autre fois ! ++ encore mci pour vos aides