Exercice probabilité 1ère es .

[invitec1f5507d]

Je vous envoi un exercice , plutôt difficile sur les probabilités . Vu que je suis bloqué à la première question il m'est dans l'impossibilité de continuer l'exercice . Merci d'avance pour votre aide précieuse !

Voici le sujet :


Romain propose le jeu suivant à Pierre . Un sac contient n boules noires et une boule blanche ( avec n un enier naturel supérieur ou égal à 1). Pierre tire une boule du sac au hasard, note sa couleur, la remet dans le sac, puis tire une deuxième boule :

- Si les deux boules sont noires, Romain donne 1 euro à Pierre
- Si les deux boules sont blanches, romain donne 10 euros à Pierre
- Si les deux boules sont de couleurs différentes, Pierre donne 3,50 euros à Romain

1) On appelle X la variable aléatoire qui à une partie associe le gain algébrique de Pierre
a) Déterminer la loi de propabilité de X ----> Je pense qu’il faut faire sa sous forme de tableau avec en premiére ligne les xi et en deuxiéme les P(E=xi)
b) Calculer l'éspérance mathématiques de X en fonction de n ---> D’après mon cours , l'espérance se calcul en multipliant la premiére avec la deuxième ligne du tableau
c) Pour quelles valeurs de n le jeu est-il équitable ? --> il faudrait peut-être regarder E(X) ?

2) On considère la fonction définie sur [o;+ l'infini[par f(x)=x²-7x+10
a) Donner la tableau de signe de cette fonction
b) Donner le tableau de variation de cette fonction
c) Tracer la parabole représentant cette fonction dans un repére ( O; i; j) unité le cm en abscisse et 1cm pour 2 en ordonnée
d) Placer sur la parabole les points qui correspondent à une éspérance de jeu positive ouu nulle pour Romain
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[shokin]

Salut, xceiidriic,

Oui, tu commences par calculer la probabilité que

- Pierre ait tiré, aux deux reprises, une boule noire (ça peut être deux fois la même),
- Pierre ait tiré, aux deux reprises, une boule noire et la boule blanche (l'une avant l'autre ou l'autre avant l'une),
- Pierre ait tiré, aux deux reprises, la boule blanche.

Le tout en fonction de n.

Les deux tirages sont indépendants puisqu'il remet la boule tirée dans le sac.

En effet, l'espérance mathématique est une sorte de moyenne pondérée (par les probabilités). Tu vas calculer l'espérance mathématique de gain de Pierre (ou celle de Pierre, si tu préfères).

Pour que le jeu soit équitable, il faut que cette espérance mathématique soit nulle. Tu as donc une équation avec l'inconnue n.

[pallas]

tu fais un arbre avec deux branches (Noir , Blanc ) d'ou partent egalement deux nouvelles branches (Noir Blanc ) et cela te donnes rapidemment la Loi de la variable

[invitec1f5507d]

Merci de vos réponses . Voilà j'ai fait tout l'exercice sauf la question C) et D) . La question c je ne sait pas quoi prendre comme unité en abcisse et en ordonnée . Je trouve la question mal expliquée ..

Que dois-je mettre en abscisse ? Avec quel unité ?
Que dois-je mettre en ordonnée? Avec quel unité ?

Merci d'avance !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

tu peux mettre n en abcisse avec unité 1 cm par boule noire
et l'espérance de gain de pierre en ordonnées avec 1cm=2 euros comme unité. ( comme suggéré dans l'énoncé ).

[invitec1f5507d]

Je ne vois pas pourquoi vous placez ceci en asbscisse . Pouvez-vous m'expliquer ?

C'est bon le graphique que j'ai fait ?

Pour la question D) , quand il dise '' placer sur la parabole les points'' je repasse la courbe par exemple en rouge quand le jeu à une expérience positive ou nulle en faisant une légende à côté ?

Merci d'avance !

[shokin]

Dans une fonction, avec sa courbe, il s'agit d'exprimer y en fonction de x. Dans cet exercice, il s'agit d'exprimer respectivement l'espérance mathématique en fonction de n (n = nombre de boules noires).

Le x correspond à n.
Le y correspond à E(x) = E(n).

Si tu veux, sur la parabole, tu peux colorer les points où l'espérance mathématique de gain (=y) de Romain. Sur le graphique, il s'agit d'une parabole et, théoriquement, tu devrais colorer toute la partie de la parabole dont les points ont y>=0. Mais comme n doit être entier (positif), tu ne colories que les points où y>=0 ET x est entier.

Selon que tu t'occupes de Pierre ou de Romain, la parabole va subir une symétrie axiale sur l'axe des x (c'est un jeu à somme nulle).

[invitec1f5507d]

Donc d'après le grapique que je vous ai envoyè precedemment il faudrait colorier les points : (o;10) (1;4) (2;0) (5;0) (6;4) et (7;10) ? moi j'aurait penser qu'il fallait colorier la courbe quand elle est positive donc sauf sur (3;-2) et (4;-2) ..

[shokin]

N'oublie pas : dans ce problème précisément, il s'agit de boules. n est le nombres de boules noires. Donc n doit être entier.

Il me semble que la courbe que tu as dessinée représente l'espérance mathématique de gain pour Pierre. Pour Romain, je trouve simplement l'opposé (c'est un jeu à somme nulle ; le gain pour Pierre équivaut à la perte pour Romain), donc la courbe que je trouve pourrait s'obtenir à partir de ta courbe par une symétrie axiale d'axe Ox (l'axe horizontal). Les zéros de la fonctions (2 et 5) resteraient les mêmes, mais celle-ci aurait un maximum au lieu d'un maximum.

[invitec1f5507d]

je comprend pas tout . Voulez vous dire que ma courbe et fausse ?

[louisdark]

Ta courbe est juste pour Pierre, mais il faut faire une symétrie par rapport à x (y de Pierre = -y de Romain) pour Romain.
Après, il faut juste colorier les points "où l'espérance est positive ou nulle) donc plus grande ou égale à 0, donc ou la courbe de Pierre est plus petite ou égale à 0, c'est à dire les points où n=2, n= 3,n=4 et n=5

[invitec1f5507d]

Vous allez me tuer ! Je comprend pas trop comment faire cette symétrie axiale ..

[louisdark]

Tu multiplie chaque valeur de y par -1, c'est quand même pas compliqué...

[invitec1f5507d]

Genre je prend un point au nimp de la courbe : (1;4) Pour faire cette symétrie que vous dites cela ferait en multipliant chaque valeur de y par -1 (1;-4) ?

[louisdark]

Bah oui.
Tu ne sais pas faire une symétrie?

[invitec1f5507d]

Si lol . Attendez je vous envoi ce que j'ai fait en fichier joint

[invitec1f5507d]

Voila .. Faut juste attendre qui valide le lien je croit

[louisdark]

Non mais c'est bon, on sait ce que ça donne, mais maintenant tu as quasiment fini l'exercice.

[invitec1f5507d]

Je vous envoi de que j'ai fait

[invitec1f5507d]

Désolé y'a eu un beug je vous ait envoyez le message deux fois . Désolé Donc je coloris les points (2.0) (3;2) (4;2) et (5;0)?

[shokin]

Exactement.

Maintenant, tu sais comment "tricher" à la place de Romain. Bon, ça ne garantis pas que tu vas gagner. Après tout, ce n'est qu'une espérance, fût-elle mathématique.

[invitec1f5507d]

Juste une petite question . Dans le sujet dans la question D il dise placer sur la parabole les points qui correspondent à une espérance de jeu positive ou nulle pour romain . Or , j'ai placé les points sur une hyperbole c'est bien sa ? Quand les branches de la courbe vont vers le bas .. Y'a t-il une erreur ?

[shokin]

Non, c'est compréhensible.

Petit rappel :

Dans les fonctions du second degré de type f(x) = ax²+bx+c :

- si a>0, la courbe décrit un U (pense à f''(x)>0 donc plUs).
- si a<0, la courbe décrit un ^ (pense à f''(x)<0 donc moi^s).

[Si a=0, tu reviens vers les fonctions du premier degré.]

Pour Romain, il s'agit d'une fonction du second degré où a<0.
Pour Pierre, il s'agit d'une fonction du second degré où a>0.

Un carré reste un carré, même après une symétrie axiale, une rotation ou une translation.

[invitec1f5507d]

En fait, la parabole représente le gain algébrique de Pierre. Donc quand elle se trouve sous l'axe des abscisses, c'est négatif pour Pierre, donc positif pour Romain. C'est Romain qui gagne de l'argent.
Il y aurait donc qu'une seule parabole à tracer, celle d'équation f(x) = x²-7x+10. Il faut donc tracer en rouge les points de la parabole qui se trouvent sous l'axe des abscisses.
En tout cas, c'est comme ça que je comprends la question...

[louisdark]

Non , la parabole représente l'espérance du gain de Pierre.

Il n'y a bien qu'une seule parabole à tracer, mais nous t'avons demandé de tracer la deuxième pour que tu puisses bien voir ce qu'il se passait

[shokin]

Rappelle-toi E(x) que tu avais calculée dans l'exercice 1b. Il s'agissait, comme on te l'avait demandé, de l'espérance mathématique de gain de Pierre.

Tu devais normalement avoir trouvé :

E(x) = (n-2)(n-5)/(n+1)²

Dans ton graphique, il est important de préciser ce que l'axe des y représente (et de t'en rappeler jusqu'à la fin de l'exercice) : l'espérance de gain pour Pierre ou l'espérance de gain pour Romain. C'est important, car un changement fait changer de signe, donc le sens de la courbe.

L'espérance mathématique de gain de Pierre = L'espérance mathématique de perte de Romain.
L'espérance mathématique de gain de Romain = L'espérance mathématique de perte de Pierre.

Et dans la question 2d, on ne te demande plus l'espérance mathématique de gain de Pierre, mais l'espérance mathématique de gain de Romain.

L'espérance mathématique de gain de Romain est -(n-2)(n-5)/(n+1)², ce qui ressemble au f(x)=x²-7x+10, sauf que :

- on a remplacé n par x,
- on a changé le signe du numérateur,
- (n-2)(n-5) est la forme factorisée de n²-7n+10,
- on a multiplié par le dénominateur ; comme ce dernier est forcément positif, multiplier par lui ne change pas le signe.

L'espérance mathématique de gain de Romain est donc bien représentée par la courbe en "montagne" (avec un maximum).

Ta réponse suivante était donc juste.

Donc je coloris les points (2.0) (3;2) (4;2) et (5;0)?

Oui.