Equation paramétrique d'un cercle.

[invite636fb08b]

Bonjour, je suis en term s et en difficultés pour ces exercices que notre prof nous a donné avec peu de cours.

Ex 1 :Est donnée l'équation x²-x+y²-2y-11/4=0
1) Montrer que cette équation est celle d'un cercle.
2)Écrire une équation paramétrique complexe de ce cercle.

1) Je pense avoir trouvé la 1ère question en mettant l'équation sous la forme cartésienne et ça me donne : (x-1/2)² + (y-1)²=4 donc cercle I (1/2;1) de rayon 2.
2) Je sais que la forme de l'équation paramétrique d'un cercle est z=zr + re^iθ mais je ne sais pas comment faire le lien avec la forme cartésienne trouvée ci dessus !

Ex 2 : Est donnée l'équation paramétrique d'un cercle : z=-1+2/3i +7/3e^iθ
1) Le point d'affixe -1+3i appartient-il au cercle ?
2)Préciser le centre et le rayon de ce cercle.
3)Ecrire une équation cartésienne de ce cercle.

1)En remplaçant z par +1+3i dans l'équation paramétrique, j'arrive après résolution à 7/3i=7/3e^iθ Et après je ne sais pas quoi faire.
2) ?
3) Comment passer de l'équation paramétrique à l'équation cartésienne ?

Merci de votre aide, PC.
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[invite636fb08b]

Personne pour cette demande d'aide ?

[Jeanpaul]

Si tu dis que C est le centre que tu as trouvé et M le point courant, tu écris que l'affixe de CM est 2 exp(i théta).

[invitee4135479]

(x-1/2)² + (y-1)²=4

On reconnaît un cercle de centre A d'affixe a = 1/2+i et de rayon R = 2.

Pour obtenir l'équation complexe, on considère M(z) du cercle. On doit avoir AM = 2 et Arg(vecteur AM) = THETA (où THETA varie entre 0 et 2 PI).

D'où z -1/2 -i = 2 Exp(iTHETA)

Ainsi : z =1/2 +i+ 2 Exp(iTHETA) où THETA varie entre 0 et 2 Pi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4135479]

ex2) la meme méthode que 1°.
1) -1+3i n'est pas sur le cercle .
supposons que le point d'affixe (-1+3i) est sur le cercle alors -1+3i=-1+3i+7/3e(iteta)==>7/3e(iteta)=0 =>e(iteta)=0 absurde car il n'existe pas teta tel que e(iteta)=0.
2)
pose M d'affixe z. et A(-1+3i). M(z) est le cercle donné. z-(-1+3i)=7/3e(iteta).==>AM=7/3e(iteta)

==>A(-1+3i) centre du cercle et de rayon r=7/3.
3) on a les coordonnes du centre du cercle dans le plan A(-1,3) , on le rayon du cercle r=7/3. alors on directement l'équation (x+1)²+(y-3)²=49/9.
=>x²+y²+2x-6y+10-49/9=0 ==> x²+y²+2x-6y+41/9=0.