Exercice Annales bac C 1979 (Nancy)

[invitee130aeed]

Bonjours à tous,

j'ai l'exercice suivant à faire, j'ai réussi la partie A mais j'aurai besoin de votre aide pour la partie B (explication après l'énoncé).

Partie A
Pour tout reel x superieur à 0 on pose:
fx= x-1-lnx

de l'etude de f deduire que pour tout x superieur à 0 , on a l'inegalité:
lnx inferieur ou égal à x-1 (1)

Partie B

Soit n un entier superieur ou egale à 2. On donne n nombres reels strictement positifs a1,a2,...,an
et on pose

u= 1/n(a1+a2+...+an)
v= racine n éme de a1a2...an
n/w=1/a1+1/a2+...+1/an

Les nombres u, v et w sont respectivement les moyennes arithmétique, geometrique et harmonique des n nombres a1,a2,...,an

1-a) en appliquant l'inegalité (1)successivement pour x= a1/u, x= a2/u, ..., x= an/u et en combinant les n inegalités obtenues, montrer que:

v inferieur ou égal à u (2)

1-b) dans quel cas a t'on v=u?

2-a) en remplacant dans (2) les n nombres a1,a2,...,an par leurs inverses, prouver que:
w inferieur ou égal à v (3)

2-b) dans quel cas à t'on w=v?


Pour la première question de la partie B, j'ai fait :
ln(a1/u)+ln(a2/u)+...+ln(an/u) <= a1/u-1+a2/u-1+...+an/u-1
ln(a1/u*a2/u*...*an/u) <= (a1+a2+...+an)/[1/n(a1+a2+...+an)] -n
ln(a1*a2*...*an/u^n)<=n-n
ln(a1*a2*...*an)<=ln(u^n)
ln(a1*a2*...*an)<=n*ln(u)
ln(a1*a2*...*an)/n<=ln(u)
e^ln(a1*a2*...*an)/n<=u
v<=u

Pouvez-vous me confirmez que ce j'ai fait est juste et me donner des pistes pour la suite ?

Merci de votre aide.

Merci de votre aide.
-----

[invitee130aeed]

personne ne peut m'aider ?

[pallas]

je trouve deux anolmalies u=(sigma des a indice i à)/ n et non ton ecriture !!
de plus si ln( a/b<0 avec a et b positifs alors a<b ( car lnx<0 donne x<1)

[invitee130aeed]

Merci de votre aide pallas,

pour l'expression de u, j'ai effectivement fait une erreur en tapant l'énoncé.

A quel endroit je dois utiliser "si ln( a/b<0 avec a et b positifs alors a<b ( car lnx<0 donne x<1)" ?

Pouvez-vous m'aidez pour la suite ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pallas]

de ln( produit a indice i )/u^n)<0 tu en déduis produit des a indice i < u^n soit en prenant la racine n iéme
racine nieme ... < u soit v<u
tu as l'egalité si x= 1 soit tous les ai indice i egaux entre eux alors u=v ( verifies )

[invitee130aeed]

Pourriez-vous détaillé vos cal calcul, je comprend pas comment vous passez d'une inégalité à une égalité ?

Pourriez vous me donnez des pistes pour la question 2 ?

Encore merci de votre aide.

[pallas]

pour le 2a) il te suffit de poser x=w/(a indice i )

[invitee130aeed]

j'ai trouvé pour la question 2_a, mais je suis toujours bloqué pour u=v et w=v.