Demonstration d'une simple formule

[jojoxxp4]

Bonsoir,

Pouvez-vous me montrer d'ou vient la fameuse formule S = R θ
avec S la longueur de l'arc
R le rayon du cercle
θ l'angle formee

Mercii pour vos explications
-----

[christo89]

Je suis pas sûr, mais je dirai :



J'ai juste adapté la "démonstration" du périmètre...
Si quelqu'un pouvait confirmer ou corriger (ou dire c'est bidon c'est pas ça )

[jojoxxp4]

Désolé je suis en premier et je ne comprends pas cette écriture complex

[jojoxxp4]

** premiere

[A voir en vidéo sur Futura]

[christo89]

Ah ba je t'avoue qu'à part ça je sais pas trop comment te démontrer ça...
C'est une question ou c'est pour ta culture personnelle?

[jojoxxp4]

Non c'est qu'en physique nous l'appliquons directement sans savoir son origine...alors qu'en maths on démontre tout !

Attendons la réponse de quelqu'un d'autre et voyons la méthode...

[christo89]

Si il le démontre pas c'est peut-être justement parce que vous avez pas vu les intégrales... Pis en physique c'est pas trop le genre de démontrer des formules de maths.
Mais si ça se trouve je me plante totalement et mon raisonnement est à l'ouest!
Peut-être que quelqu'un a une meilleure idée, sinon va voir ton/ta prof et demande-lui!

[Seirios]

Bonsoir,

Telle que la question est posée, je répondrais : c'est la définition du radian. Maintenant, il y a une question implicite : cette définition est-elle bien posée ? Autrement dit, si je multiplie le rayon par un coefficient, la longueur de l'arc sera-t-elle bien également multipliée par ce même coefficient ?

Cette question n'est pas si triviale. Cela revient à se demander si la définition de pi comme quotient de la circonférence sur le diamètre d'un cercle est bien posée. Tu peux par exemple regarder ceci : http://www.lix.polytechnique.fr/Labo...pi-exists.html.

[Seirios]

Je suis pas sûr, mais je dirai :



J'ai juste adapté la "démonstration" du périmètre...
Si quelqu'un pouvait confirmer ou corriger (ou dire c'est bidon c'est pas ça )

Le problème c'est que tu utilises le résultat implicitement : comment jusitifies-tu que l'intégrale correspond bien à la longueur de l'arc ?

[gerald_83]

La circonférence d'un cercle est donnée par C= 2 * pi * Rayon, 2 * pi étant l'angle, en radians, représentant 360 °.

Pour faire simple (c'est à dire sans rentrer dans de longues démonstrations) S = R θ représente la longueur d'un arc de cercle de rayon R et d'angle θ (en radians) et comme indiqué ci dessus si θ = 2 * pi tu retombes sur la circonférence du cercle

[gerald_83]

Je ne démontre rien, c'est sûr mais j'essaye de répondre par rapport à ce que tu as dû voir en cours

[jojoxxp4]

Ahh donc ce n'est qu'une simple proportionnalité ?

θ=2pi ---------------------> S=2pi R
θ --------------------------> S

S = [(2pi R) * θ] / (2pi)
S = R * θ .............................. .............<<<<<<< Voila la FORMULE !

Mais θ est en radian donc d'apres la formule S = R * θ,
S est en metres
R est en metres
θ est en radian

Comment m/rad = m !?

[christo89]

Le problème c'est que tu utilises le résultat implicitement : comment jusitifies-tu que l'intégrale correspond bien à la longueur de l'arc ?

Ouais pas faux. J'ai jamais été très bon pour les intégrales, on prend juste un dteta (integrale simple car on ne veut que l'arc), le rayon ne bouge pas, et on fait juste varier l'intégrale de la valeur de l'angle voulue.
Après effectivement, ça ne justifie rien...

[christo89]

Ahh donc ce n'est qu'une simple proportionnalité ?

θ=2pi ---------------------> S=2pi R
θ --------------------------> S

S = [(2pi R) * θ] / (2pi)
S = R * θ .............................. .............<<<<<<< Voila la FORMULE !

Mais θ est en radian donc d'apres la formule S = R * θ,
S est en metres
R est en metres
θ est en radian

Comment m/rad = m !?

Oui voilà ça correspond à ça, mais ce n'est en rien une démonstration. C'est le plus simple que tu puisses avoir je pense ^^

[jojoxxp4]

Mais m*rad serait egal a m ...

Etrange !?

[christo89]

Je n'avais pas vu ta dernière phrase désolé. En fait le radian est une unité "sans dimension". On ne la prend pas en compte pour les analyses dimensionnelles donc on pourrait simplifier par m*rad = m*1 en fait.

[jojoxxp4]

Ah bon !

D'accordd merci bcp a tous

[Seirios]

Le radian est en fait sans dimension : http://en.wikipedia.org/wiki/Radian#...ional_analysis.


EDIT : J'ai manqué quelques messages, ma réponse est redondante, désolé.

[Nomad7]

Bonjour,

Si tu cherches la démonstration complète du périmètre d'un cercle et de l'aire d'un disque, sans connaitre l'existence du nombre PI, il faut que tu regardes la démonstration d'Euclide et celle d'Archimède. Ils arrivent à déterminer l'existence du nombre PI, en utilisant un problème de limite des aires de polygones réguliers inscrits et circonscrits.
Pour ta question de mètre*rad = mètre ???
dans ta formule tu as: S=longueur de l'arc (en m)=angle de l'arc (en rad)*Rayon (en m) / 2*PI(en rad) donc rad*mètre/rad=mètre. pas de problème à ce niveau là.

[gg0]

Euh ... plus de 4 ans après, c'est utile ????

[Nomad7]

Ah oui désolé, j'ai pas trop regardé la date. Je suis tombé dessus par hasard et j'ai voulu répondre dsl

[Kairn]

Edit : nan rien.